[Controlli Automatici] Determinare K e K2 di un sistema affinché...

Il sistema è il seguente:


$ G(s)=1/(s(s+1)) $

Devo trovare i valori di K e K2 per i quali il sistema ha un tasso di smorzamento (nelle mie slide indicato come "damping ratio") di 0.5. Inoltre il sistema ha una frequenza naturale prima dell'aggiunta di K2 (cioè quando K2 = 0) di 10rad/s.

Ho provato con i seguenti passaggi. Indico con $ zeta $ il tasso di smorzamento e con $ omega _n $ la frequenza naturale.

Innanzitutto ho calcolato la funzione di trasferimento tra l'ingresso e l'uscita. Ho trovato, e di questo sono abbastanza sicuro sia giusto:
$ C/R = K/(s^2+(1+K_2)s+K $

Quindi l'equazione caratteristica è:
$ s^2+(1+K_2)s+K = 0 $

Prima che venga aggiunto K2 l'equazione caratteristica è (ponendo K2=0):
$ s^2+s+K = 0 $

Da quello che so, l'equazione generale dell'equazione caratteristica è:
$ s^2+2zeta omega _n+omega _n^2=0 $

Quindi confrontandola con quella che ho trovato io (per K2=0) ho:
$ zeta omega _n=1/2 $ e $ omega _n^2=K $

Il problema è che se nella prima equazione vado a sostituire $ zeta=0.5 $ e $ omega _n=10 $ allora l'equazione non è verificata. Quindi mi viene da dire che sto sbagliando procedimento.

Non so se ho compreso bene tutti i termini del problema, ma se lo smorzamento a $0,5$ devi ottenerlo quando $K2$ è determinato (e non necessariamente quando $K2=0$), potresti ottenere dalla condizione $K2=0$ sulla seconda equazione il valore $K=100$ , e quindi imponendo $K=100$ e lo smorzamento a $0,5$ sulla prima equazione otterresti $K2=9$.

Sperando di aver capito bene la traccia dell'esercizio, si ha:
$1)$ Quando $k_2=0$, la funzione di trasferimento vale:
$W(s) = k/(s^2+s+k)$
per cui:
$s^2+s+k = s^2+2 zeta omega_ns+omega_n^2 rArr { ( 2zeta omega_n = 1 ),( omega_n^2 = k ):} rArr k = 100 $
per la specifica dettata dalla traccia.
$2)$ Quando, invece $k_2 != 0$, la funzione di trasferimento vale:
$W(s) = k/(s^2+(k_2+1)s+k)$
per cui:
$s^2+(k_2+1)s+k = s^2+2 zeta omega_ns+omega_n^2 rArr { ( 2zeta omega_n = k_2+1 ),( omega_n^2 = k ):} $
Imponendo la specifica sul coefficiente di smorzamento, si ha:
$zeta = 0,5 = (k_2+1)/(2omega_n) rArr k_2 = 9 $

Ho capito, grazie mille ad entrambi.

Anche a me erano venuti quei risultati, però pensavo che il procedimento fosse sbagliato perché, ponendo K2=0, la prima condizione non era soddisfatta per $ zeta = 0.5 $. Effettivamente questa condizione dev'essere verificata non necessariamente quando K2 = 0.

Grazie ancora