[Teoria dei Segnali] Energia di uno spettro triangolare

[oStile17]

Ciao ragazzi!

Sto cercando di calcolare l'energia del segnale \(\displaystyle w(t)=x(t)*cos(2pift) \) dove \(\displaystyle x(t)=10senc^2(10t) \).

Lo spettro risulta essere \(\displaystyle X(f)= 1/2 Λ((f-30)/10) + 1/2 Λ(f+30)/10)\) ovvero la somma di due impulsi triangolari di semi durata 10 e centrati in +30 e -30 Hz.

Come calcolo l'energia di questo segnale dallo spettro?

Dovrei integrare il modulo quadro giusto? Ma come si calcola il modulo quadro dell'impulso triangolare?

Grazie a tutti in anticipo

[Sling]

Tieni conto che il triangolo è definito come:

\( \displaystyle \Lambda(t) =\begin{cases} 1-|t| & \mbox{se } |t|<1 \\ 0 & \mbox{altrove } \end{cases} \)

Per trovare il triangolo al quadrato:

\( \displaystyle \Lambda^2(t) =\begin{cases} (1-|t|)^2 & \mbox{se } |t|<1 \\ 0 & \mbox{altrove } \end{cases} \)

Da cui poi per trovare l'energia ti salta fuori un semplice integrale di un polinomio.

[oStile17]

Grazie!

Io come legge del triangolo ho \(\displaystyle 1-|t|/T\) se \(\displaystyle t<= T \) che credo sia la stessa cosa.

Se faccio il quadrato del primo triangolo avrò: \(\displaystyle [1/2(1-|f|/10)]^2 \) giusto? Che mi risulta essere \(\displaystyle 1/4 + f^2/400 + f/20 \) da integrare e moltiplicare per 2 perché ci sono 2 triangoli.

Nella soluzione dell'esercizio invece mi trovo 4 volte l'integrale di \(\displaystyle 1/200 * f^2 \).

Cosa non sto vedendo o calcolando male?

[Sling]

\(\displaystyle [1/2(1-|f|/10)]^2 \) giusto? Che mi risulta essere \(\displaystyle 1/4 + f^2/400 + f/20 \)

A me pare invece che venga \( \displaystyle \frac{1}{4}+\frac{f^2}{400}-\frac{|f|}{20} \)

L'energia del singolo triangolo la calcolerei come \( \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{10} \left(1-\frac{f}{10}\right)^2 df \)

Nella soluzione dell'esercizio invece mi trovo 4 volte l'integrale di $f^2/200$.

Su quale intervallo di integrazione?

[oStile17]

A me pare invece che venga \( \displaystyle \frac{1}{4}+\frac{f^2}{400}-\frac{|f|}{20} \)

Si, hai ragione, non ho tenuto conto del valore assoluto.

L'energia del singolo triangolo la calcolerei come \( \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{10} \left(1-\frac{f}{10}\right)^2 df \)

Quindi l'ampiezza del triangolo va tenuta fuori dal calcolo del quadrato e conseguentemente dall'integrale? Perché nel passaggio di prima l'1/2 viene messo dentro il quadrato.

Su quale intervallo di integrazione?

$ E=4int_(-0)^(10) (1/200*f^2) df $

[Sling]

Quindi l'ampiezza del triangolo va tenuta fuori dal calcolo del quadrato e conseguentemente dall'integrale? Perché nel passaggio di prima l'1/2 viene messo dentro il quadrato.

No, semplicemente: \( \displaystyle 2\int_{0}^{10} \frac{1}{4}\left(1-\frac{f}{10}\right)^2 df = \frac{1}{2}\int_{0}^{10} \left(1-\frac{f}{10}\right)^2 df \)

Comunque evidentemente mi sta sfuggendo qualcosa visto che la tua soluzione da un risultato doppio rispetto a come lo calcolerei io.

[oStile17]

Comunque evidentemente mi sta sfuggendo qualcosa visto che la tua soluzione da un risultato doppio rispetto a come lo calcolerei io.

Perché lo spettro è fatto da 2 triangoli centrati in +30 e -30 quindi invece di moltiplicare per 2 si moltiplica per 4.

Così verrebbe:

$ E=4*int_(0)^(10) |1/2(1-f/10)|^2 df=4*1/4 int_(0)^(10) |(1-f/10)|^2 df=int_(0)^(10) 1-f/5+f^2/100 df=10/3 $

e non = 2 come da risultato :/

[Sling]

Perché lo spettro è fatto da 2 triangoli centrati in +30 e -30 quindi invece di moltiplicare per 2 si moltiplica per 4.

Questo mi era chiaro, infatti ho esplicitamente detto che la formula per l'energia riportata da me era per un triangolo.
Quello che non mi è chiaro è come mai il risultato finale sia la metà rispetto alla soluzione fornita (che sarebbe \( \displaystyle \frac{20}{3} \) ). Da dove provengono?