[Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Ciao ragazzi!

Devo calcolare e disegnare il grafico dello spettro bilatero della funzione $ x(t)=e^(-kt)*u(t) $

Dalla trasformata di Fourier so che la trasformata di un prodotto è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate, ovvero: $ int_(-oo )^(+oo ) (k/(1+j2pi lambda))*1/2delta (f-lambda)+1/(j2pi(f-lambda)) dlambda $

Come lo risolvo? C'è un metodo che mi eviti di calcolare l'integrale? Anche perché non so che valore dovrei dare a $lambda$

Nella soluzione ho $ X(f)=1/(k+j2pif) $

E inoltre, come lo grafico?

Grazie mille ^^

Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

Scusami, come sei arrivato a questo risultato? Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier

Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

non ho capito cosa vuoi dire
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..

Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier

Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier?

non ho capito cosa vuoi dire
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..

Ok ci sono, calcolato l'integrale viene effettivamente il risultato iniziale.

Quindi possiamo dire che la convoluzione tra un segnale e il gradino unitario è la trasformata del segnale però considerando solo t>0? Perché a conti fatti applicando la definizione di TF vado a integrare solo il primo segnale!

Inoltre, come si grafica questo spettro?

Grazie!

Inoltre, come si grafica questo spettro?

bhè il risultato è l'inverso di un numero complesso :

\(\frac{1}{z}=\frac{1}{k+j\omega }\)

Quindi moltiplicando sia sopra che sotto per il suo complesso coniugato abbiamo questo risultato:

\(\frac{1}{k+j\omega }\cdot \frac{k-j\omega }{k-j\omega }=\frac{k}{k^{2}+\omega ^{2}}-j\frac{\omega }{k^{2}+\omega ^{2}}\)


Lo tratti come un comune numero complesso, puoi fare un grafico della parte reale, della parte complessa, del modulo etc....