[Elettrotecnica] Matrici di doppi bipoli resistivi

Messaggioda Marss_8 » 22/04/2019, 19:44

Può sembrare una domanda banale, ma non trovo molto su internet a riguardo.
L'argomento sono i doppi bipoli resistivi, e le matrici che si usano per rappresentarli. Negli appunti del mio professore trovo questa tabella, che mostra come si può passare da una matrice a un'altra attraverso opportune formule: https://imgur.com/a/oPzxxaB (il simbolo |.| indica det(.))
La mia domanda potrebbe semplicemente essere come si fa a dimostrare queste formule. Più avanti leggete solo il mio ragionamento e gli intoppi che ho trovato.

Quello che non capisco è come partiti dalle due equazioni di un generico doppio bipolo lineare resistivo
$ { ( a_11 v_1+b_11 i_2+a_12v_2+b_12i_2=0),( a_21 v_1+b_21 i_2+a_22v_2+b_22i_2=0 ):} $
che ha 8 coefficienti, 6 se dividiamo le equazioni per uno di essi diverso da 0, si possa passare alla scrittura di una matrice di 4 coefficienti che racchiuda tutta l'informazione espressa da quel sistema con 6 coefficienti.
Infatti, provando a scrivere la matrice R per esempio, partendo da quel sistema generico, ottengo:
$ ( ( -b_11/a_11 , -b_12/a_11 ),( -b_21/a_21 , -b_22/a_21 ) ) $
sempre nell'ipotesi che a_11 e a_22 siano non nulli. Questa matrice non mi dice tutto sull'equazione di partenza, mi mancano i contributi di v_1 e v_2. Il sistema completo dovrebbe invece essere questo:
$ ( ( v_1 ),( v_2 ) ) = ( ( -b_11/a_11 , -b_12/a_11 ),( -b_21/a_21 , -b_22/a_21 ) ) ( ( i_1 ),( i_2 ) ) + ( ( -a_12/a_11v_1 ),( -a_22/a_21v_2 ) ) $

Guardandola in un altro modo, se posso scrivere la matrice R, vuol dire che è possibile scrivere le due tensioni di porta come funzioni delle correnti e non dell'altra tensione di porta, il che sembra essere un caso particolare.
Ma se poi riesco anche a scrivere la G, la H, etc... per un doppio bipolo, non vuol dire che sto ponendo sempre più vincoli al bipolo? Quindi mi chiedo, il caso più frequente è che un doppio bipolo ha poche possibili matrici che lo rappresentino, no?
Ma anche se fosse, non capisco ancora come si arriva a quelle formule di passaggio da una matrice all'altra.
Marss_8
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 16 di 42
Iscritto il: 11/01/2017, 18:00

Re: [Elettrotecnica] Matrici di doppi bipoli resistivi

Messaggioda RenzoDF » 22/04/2019, 21:12

Il tuo sistema iniziale, valido in generale per un doppio bipolo adinamico, lineare, inerte e tempo invariante, costituisce la rappresentazione implicita dello stesso, ma quando risulti possibile esplicitare due delle variabili in funzione delle rimanenti due, otterremo una sua rappresentazione esplicita più semplice, via matrici 2x2: delle resistenze, delle conduttanze, ibride, trasmissione, riducendo a quattro i coefficienti; è chiaro che, in generale, un doppio bipolo, può non ammettere tutte le sei possibili rappresentazioni ridotte, comunque ne esiste di sicuro almeno una.

Questa semplificazione sarà possibili solo se due fra le quattro variabili v1,v2,i1,i2 possono essere fissate in modo indipendente; in questo caso, sarà possibile esplicitare due delle quattro variabili in funzione delle rimanenti due.

Giusto per fare un esempio, in un doppio bipolo puramente resistivo a $T$ o a $\Pi$, è possibile imporre indipendentemente sia le due correnti alla due porte, sia le due tensioni alle due porte e di conseguenza questo doppio bipolo ammetterà sia la rappresentazione via matrice R sia via matrice G1 (e non solo2 ); nel doppio bipolo trasformatore ideale non sarà possibile nessuna delle due suddette rappresentazioni esplicite in quanto le due tensioni e le due correnti alle porte non sono indipendenti, mentre sarà invece possibile una rappresentazione via matrice ibrida o di trasmissione.

In generale, la trasformazione da una forma all'altra sarà impossibile qualora o il determinante o uno (o più) coefficienti siano nulli; nel caso del trasformatore ideale (per es.) la matrice di trasmissione T avrà B e C nulli, di conseguenza non sarà possibile passare ne alla matrice G, ne alla matrice R, ma solo alle matrici ibride H e H' e alla T', mentre per i suddetti due doppi bipoli resistivi, tutte le 6 rappresentazioni saranno possibili.

Relativamente al passaggio dalla forma implicita a quella esplicita, giusto per non perdere tempo con la scrittura in LaTeX, facendomi aiutare da wxMaxima :)

Immagine

dalle quali è chiaro che le diverse rappresentazioni saranno possibili solo in presenza di denominatori non nulli.

BTW Nelle tue relazioni occhio ai pedici.

Note

  1. Ottenibile via matrice inversa di $R$: da $[v] =[R]\cdot[i]$, moltiplicando ambo i membri per $[R]^{-1}=[G]$, otterremo $[i] =[G]\cdot[v]$.
  2. Per trasformazione da R a H, vedi per es. slide 23 del file
    http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/fo_d2_14/02-doppi-bipoli.pdf.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5084 di 15468
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: [Elettrotecnica] Matrici di doppi bipoli resistivi

Messaggioda Marss_8 » 27/04/2019, 23:07

Grazie infinite per il Suo post e per le dispense. Li ho letti entrambi ma non ho avuto ancora tempo di dedicarmici anima e corpo.
Può darsi quindi che io ponga una nuova domanda di chiarimento presto, non appena posso ridedicarmi ad Elettrotecnica.
In ogni caso, grazie di nuovo per l'ampio supporto.
Marss_8
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 17 di 42
Iscritto il: 11/01/2017, 18:00


Torna a Ingegneria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite