Fond. Automatica - Trasformazione di Laplace.

[mrpoint]

Dunque, la formula di trasformazione di Laplace è :

$V(S)=int_0^oov(t)e^(-ts)dt$

sto analizzando un esempio classico in cui si applica la trasformata sopra scrita ad un segnale esponenziale $v(t)=e^(pt)$

svolgendo la trasformazione ottendo:

$V(S)=int_0^ooe^(pt)e^(-st)dt$

$V(S)=int_0^ooe^((p-s)t)dt$

$V(S)=[e^((p-s)t)/(p-s)]_0^oo$

bene, fin qui tutto chiaro e limpido come l'acqua di montagna; ora arriva la parte che per me ha poco senso:

se $RE[p-s]<0 -> 1/s-p$


Qualcuno mi da qualche delucidazione? dunque;
$V(S)=[e^((p-s)t)/(p-s)]$ è un numero complesso, se la sua parte reale è minore di zero allora $e^((p-s)t) =1$ giusto? bene: perchè? qualcuno mi può mettere brevemente la spiegazione?

Saluti

(nella speranza che la domanda non sia troppo stupida, se così fosse non rispondete e mandatemi a quel paese)

[raff5184]

sei sicuro di quando scrivi:
se $Re[p-s]<0$ ... ?

A me risulta che, la trasformata di Lapl di v(t) è $V(s)= 1/(s-p)$ (e non $1/s-p$)e ciò è possibile se $Re[p-s]<0$, cioè $Re[s]>Re[p]$

Viene cosi perché, si rifà alla trasformata di Laplace di v(t)=1. $L[1] = int 1*e^-(st) ds=inte^(-st)ds$ (scusa non so come si mettono gli estremi all'integrale) e quesro è vero SOLO SE $Re[s]>0$ Sai sicuramente che la trasformata di Laplace di 1 è $1/s$

Quando ora facciamo la $L[e^p]$ viene:
$int (e^(p-s) ds)$, ma questa se la confronti con l'ultimo integrale che ho scritto è proprio la trasformata di Laplace di 1 e parametro (complesso) $s-p$ e cioè $1/(p-s)$

Condizione di esistenza della trasformata: dovendo essere $Re[parametro]>0$ --> $Re[p-s]<0$. Se non conosci il perché della condizione di esistenza te la spiego...

[mrpoint]

Io non sono sicuro di nulla

però mi sembrava abbastanza sicuro il mio professore (preside di facoltà) mentre lo spiegava... a meno che sia i miei appunti che il suo libro non sbaglino direi che è proprio come ho scritto....

[raff5184]

non so se hai letto la mia risp completa. Ci avevo fatto anche qualche erroe di scrittura

[mrpoint]

Si scusami non avevo letto la risposta completa.
Se potessi spiegarmi anche la condizione di esistenza te ne sarei grato.

Ad ogni modo ho sbagliato a scrivere io nel post iniziale;

non è $1/s-p$ ma come hai detto tu è $1/(s-p)$

[raff5184]

bene. partiamo sempre dalla L[1].

$L[1]= int_0^oo e^-(st)dt = lim_(T->oo) int_0^T e^-(st) dt = lim_(T->oo)[- (e^-(st))/s]_0^T$
A questo punto possono verificarsi 3 casi:
i)$Re[s]>0$
ii)$Re[s]<0$
iii)$Re[s]=0$

s=a+jb

i) $lim_(T->oo)(-1/se^-(at) [cosbt -j sinbt] + 1/s) = 0+1/s= 1/s$

ii)a<0
$lim_(T->oo)((-1/s e^(at)(cosbt-jsinbt) +1/s))$ non esiste, perché le funzioni trigonometriche sonooscillanti all'infinito

iii) lim .... non esiste, come prima

Allora si è trovato che la L di 1 è possibile solo se la parte reale di s è psitiva. Ora esiste il cosiddetto piano di s che altro non è che un piano con ascissa Re[s] e ordinata Im[s]. Quindi si è avuto che in questo caso la L è possibile solo nel semipiano Re[s]>0, primo e quarto quadrante per capirci.

E' chiaro che per altre trasformate la condizione di trasformabilità non è lo stesso semipiano.
Per esempio, per l'altra funzione che avevi, $e^(pt)$ si è trovato che Re[s]>Re[p]. Ossia, nel semipiano della s a destra della retta $x=Re[p]$ parallela all'asse y e passante per il punto Re[p]. Se ti disegni il grafico è + facile capire

[raff5184]

fatto.
Ci ho messo un pò perché nopn sono praticissimo nello scrivere le formule

[mrpoint]

Tranquillo, ora mi leggo tutto con calma e cerco di capire.
Grazie moltissime per la pazienza nell'aiutarmi

[raff5184]

mah figurati... Mi fa piacere dare una mano quando posso
Se non capisci o hai altri dubbi chiedi pure, solo che ora vado a studiare un pò.

Buona trasformazione