Teoria Dei sistemi

Ho il seguente sistema
\[
\begin{cases}
x_1^\prime = -3x_1 +x_2^3 +u \\
x_2^\prime = x_1 - x_2^2 + (u-1)^2 \\
y = x_2^2 + x_1 + u^2
\end{cases}
\]

Devo lineare questo sistema e poi calcolare la risposta al seguente segnale
\[
u(t)=1+[0.05 \sin(2t) \operatorname{H}(t-10) +10^{-3} (t-3) \operatorname{H} (t+2)] \operatorname{H} (10-t)
\]

Qui ho messo un tentativo di risoluzione dell' esercizio.


Grazie mille a chi può aiutarmi

Ultima modifica di gugo82 il 20/05/2019, 16:50, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate le formule.

Dunque, ci sono due cose poco chiare:
1) quando si deve effettuare la linearizzazione di un sistema, occorre indicare anche il punto di equilibrio intorno a cui linearizzare cosa che qui non è indicata;
2) con il simbolo H si intende la funzione di Heaviside?

Rispondo alla 2), visto che $text(H)$ l’ho inserita io… Leggendo la versione originaria del post,la risposta è sì.

Dunque, ci sono due cose poco chiare:
1) quando si deve effettuare la linearizzazione di un sistema, occorre indicare anche il punto di equilibrio intorno a cui linearizzare cosa che qui non è indicata;
2) con il simbolo H si intende la funzione di Heaviside?

1) mi hanno cancellato la foto, il punto di equilibrio non è indicato la consegna è : dato questo sistrma calcola la risposta a questo segnale. Poi tracciare i diagrammi di bode, ma questo è un altro discorso

2) si

Dunque, il sistema linearizzato diventa:
$ tilde(A) = ( ( -3 , 2x_2^2 ),( 1 , -2x_2 ) ) $
$ tilde(B) = ( ( 1 ),( 2(u-1) ) ) $
$ tilde(C) = ( 1 \ \ 2x_2 ) $
$ tilde(D) = 2u $
Per quanto riguarda il punto di linearizzazione, non avendo una specifica e volendo seguire i tuoi passi, si ha:
$ { ( dot(x)=0 ),( u=1 ):}rarr { ( -3x_1+x_2^3+1=0 ),( x_1-x_2^2=0 ):} rarr{ ( -3x_2+x_2^3+1=0 ),( x_1=x_2^2 ):} $
Risolvere la prima equazione dell'ultimo sistema non è cosa semplice per via analitica, ma occorre analizzarla per poterla risolvere per via numerica ( quindi con metodi di bisezione o Newton-Raphson ).
Pur avendo essa tre soluzioni, a noi ne basta una; a tal fine, si nota che essa assume valori di segno opposto nell'intervallo $ x_2 = ]0,1] $. In tale intervallo di ricerca, la soluzione risulta essere
$ { ( x_2=0.35 ),( x_1=0.12 ):} $
Dunque, sostituendo tale soluzione, con la condizione $u=1$, nelle matrici $tilde(A)$,$tilde(B)$,$tilde(C)$ e $tilde(D)$, si può ottenere la fdt del sistema e, quindi, calcolare la sua risposta.

tutto perfetto grazie mille.
Un unico dubbio, la matrice A : è una matrice 2x2, è un problema che in posizione 2 2 non ci sia uno 0 ? DI SOLITO è 0 .

Per il resto grazie ancora gentilissimo

No nessun problema per quanto riguarda la matrice A

Ultimo bump di framust1 effettuato il 26/07/2019, 13:20.