equazione differenziale primo ordine

[Exodus]

Quindi stai cercando la risposta alla Funzione gradino di Heaviside.
Bhè impostiamo l'equazione differenziale per il primo circuito RC:

\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{x}{RC}\)

ma il nostro gradino unitario è una costante e vale uno per t>0
quindi:

\(y'+\frac{1}{RC}y=\frac{1}{RC}\)

ossia:
\(y\left ( t \right )=e^{-\frac{t}{RC}}\left ( \frac{1}{RC}\int e^{\frac{t}{RC} }dt+k\right )=1+ke^{-\frac{t}{RC}}\)

ora determiniamo k con la condizione iniziale di \(y\left ( 0 \right )=0\)

\(1+ke^{-\frac{0}{RC}}=0\)

Risolvo per k:
$k=-1$
sostituisco:

\(y\left ( t \right )=1-e^{-\frac{t}{RC}}\)

[enna]

Ok ! Hai appena risolto in un colpo solo il dubbio che avevo su questo esercizio e anche l’errore che avevo fatto però ( poi giuro che non ti disturberò più !) nell’altro esercizio perché non applico la stessa condizione iniziale ? Ragionando per sostituzione , guardando la soluzione , si è applicata la condizione iniziale y(0)=1 .. perché ?

[Exodus]

bhè senza scomodare i calcoli, non sò quanto tu sappia di elettronica
ma la tensione sul condensatore non può variare in maniera brusca,ovvero
se io appplico su un morsetto del condensatore (lato sinistro nel tuo caso) un gradino unitario anche il morsetto di destra si porterà allo stesso potenziale per avere all'istante $t=0$
una differenza di potenziale sempre $v_C= 0$ (tensione sul condensatore = 0)

Quindi se applico 1 a sinistra del condensatore all'istante $t=0$,
avrò 1 anche a destra all'istante $t=0$, .
Quindi quella sarà la condizione iniziale
ovvero $y(0) =1$

[enna]

Grazie Grazie Grazie !!!!!!!!!!!!! In teoria dovrei saperne di elettronica credo sia passato un po’ troppo tempo

[RenzoDF]

Quando nella soluzione del secondo problema (non ho capito bene chi) afferma che

... l'equazione differenziale che regge il circuito ... sarebbe difficile da risolvere con $x(t)=\delta(t)$ ; dunque possiamo: ...

non concordo, in quanto basterebbe un semplice bilancio impulsivo per andare a determinare l'uscita con maggior rapidità.