[Elettrotecnica] Calcolo corrente di linea sistema trifase

Si consideri il trifase in figura:



Si chiede di calcolare la corrente di linea \(\displaystyle \vec{I_{2}} \), supponendo di alimentare la rete con una terna diretta di tensioni concatenate.

Il mio ragionamento è questo: per visualizzare meglio i carichi trifase della rete, ho considerato quella
stella di impedenze \(\displaystyle R -jX_{c} \) e l'ho trasformata in un triangolo di impedenze \(\displaystyle \dot{Z} \) equivalente, come mostrato in figura:



Quindi, calcolo la fase \(\displaystyle \varphi_{m} \) del motore:

\(\displaystyle \varphi_{m} = \arctan (\frac{Q_{m}}{P_{m}}) \).

Dalla formula per il calcolo della potenza attiva (o della potenza reattiva) del motore, posso ottenere il modulo delle tensioni stellate \(\displaystyle E \), sapendo dai dati forniti che \(\displaystyle I = 20 \):

\(\displaystyle E = \frac{P_{m}}{3\cdot I\cdot \cos (\varphi_{m})}\).

Siccome il motore rappresenta un carico equilibrato, posso scrivere che le correnti che fluiscono in esso valgono:

\(\displaystyle \vec{I_{1m}} =[I, \frac{2\pi }{3}], \vec{I_{2m}} = I, \vec{I_{3m}} = [I, -\frac{2\pi }{3}] \)

allora, posso anche calcolare le fasi delle tensioni stellate, visto che esse sono in anticipo di \(\displaystyle \varphi_{m} \) rispetto alle corrispondenti correnti:

\(\displaystyle \angle E_{1} = \frac{2\pi }{3} + \varphi_{m} \)

avendo a che fare con un sistema alimentato da tensioni simmetriche, ottengo le fasi di \(\displaystyle \vec{E_{2}}\)
ed \(\displaystyle \vec{E_{3}}\) direttamente dalla fase di \(\displaystyle \vec{E_{1}}\) per sottrazione di \(\displaystyle \frac{2\pi }{3} \).

A questo punto, non mi resta che calcolare le tensioni concatenate dalla definizione:

\(\displaystyle \vec{V_{12}} = \vec{E_{1}} - \vec{E_{2}}\)
\(\displaystyle \vec{V_{23}} = \vec{E_{2}} - \vec{E_{3}} \)
\(\displaystyle \vec{V_{31}} = \vec{E_{3}} - \vec{E_{1}} \)

per calcolare le due correnti \(\displaystyle \vec{I_{A}}\) e \(\displaystyle \vec{I_{B}}\) in figura, semplicemente con i rapporti:

\(\displaystyle \vec{I_{A}} = \frac{\vec{V_{12}}}{\dot{Z}} \)
\(\displaystyle \vec{I_{B}} = -\frac{\vec{V_{23}}}{\dot{Z}} \)

Finalmente, posso ottenere \(\displaystyle \vec{I_{2z}} = -\vec{I_{A}}-\vec{I_{B}} \), e quindi \(\displaystyle \vec{I_{2}} = \vec{I_{2z}} + \vec{I_{2m}}\).

Domande:
-Il mio ragionamento è corretto? Se no, quali sono gli errori?
-Supponendo di non trasformare quel carico di impedenze in un triangolo equivalente, quale sarebbe stato un possibile svolgimento dell'esercizio?

Vi ringrazio.

... Il mio ragionamento è corretto? Se no, quali sono gli errori?

No, sbagli nel considerare quelle tre impedenze collegate a stella e quindi non è possibile passare ad un triangolo equivalente; due di quelle impedenze sono collegate in derivazione fra le fasi 1-2 e 1-3, mentre la terza è collegata in serie alla fase 1.

... Supponendo di non trasformare quel carico di impedenze in un triangolo equivalente, quale sarebbe stato un possibile svolgimento dell'esercizio?

Per rispondere dovrei poter vedere il testo integrale e originale, anche se nel leggere quei dati ho un brutto presentimento riguardo all'idea dell'estensore.


BTW Puoi specificare la provenienza del problema?

L'esercizio completo è questo e proviene da un compito d'esame:

Con quei dati, per poter risolvere, non puoi far altro che ipotizzare che sia presente una terna di tensioni diretta e simmetrica ai morsetti del motore¹; solo così potrai andare a usare le potenze indicate per ricavarti la fase e il modulo delle tensioni stellate ai morsetti del motore e le tre correnti assorbite dallo stesso, come correttamente hai fatto tu, ma a questo punto, per determinare la tensione $\vec V_{12}$, necessaria per calcolare la corrente nell'impedenza collegata fra la fase 1 e 2, non potrai semplicemente usare la differenza $\vec E_{1^\prime}-\vec E_{2^\prime}$, ma dovrai tener conto anche della caduta di tensione sull'impedenza in serie alla fase $1^\prime$ del motore.
Ottenuta $\vec V_{12}$, potrai ottenere il fasore della corrente entrante \(\vec I_2=\vec I_{2m}-\vec V_{12}/\dot Z\) e da questa la relativa funzione del tempo richiesta $i_2(t)$.

Problema classicamente H-demico e semplicemente assurdo nel mondo reale.

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Note

1. Non in ingresso, dove è solo diretta. ↑

1)Non basta che tre impedenze condividano un solo punto per poter dire che sono a stella? Quale "requisito" manca per poterle considerare tali?

per determinare la tensione $\vec V_{12}$, necessaria per calcolare la corrente nell'impedenza collegata fra la fase 1 e 2, non potrai semplicemente usare la differenza $\vec E_{1^\prime}-\vec E_{2^\prime}$, ma dovrai tener conto anche della caduta di tensione sull'impedenza in serie alla fase $1^\prime$ del motore.

2)Quindi, supponendo di mettere i segni come in figura, potrei ottenere la tensione $\vec V_{12}$ in questo modo:

\(\displaystyle \vec{V_{12}} = \vec{V_{RXc}} + \vec{V_{1'2'}} + \vec{V_{2'2}} \), dove \(\displaystyle \vec{V_{2'2}} = 0. \) E' corretto?

3)Nel tuo procedimento non hai tenuto conto dell'impedenza collegata ai morsetti 1-3, quindi è assolutamente inutile per il nostro scopo? Potrei anche staccarla dal circuito e nulla cambierebbe?

4)Supponendo di sostituire il vero circuito dell'esercizio con quello che ho disegnato io a mano, il mio procedimento IN QUESTO CASO sarebbe stato corretto?

Grazie per l'aiuto.

... Non basta che tre impedenze condividano un solo punto per poter dire che sono a stella? Quale "requisito" manca per poterle considerare tali?

Certo, ma non con altri bipoli e invece in questo caso lo condividono con un bipolo "cortocircuito".

In effetti, volendo, si potrebbero considerare i suddetti quattro bipoli come una stella a quattro punte


stella che può essere trasformata in un poligono a quattro vertici, che presenterebbe sei impedenze collegate fra le coppie di vertici.
Le ammettenze \(\dot Y_{ij}=1/\dot Z_{ij}\) dei sei lati del poligono saranno determinabili via estensione della trasformazione classica stella-triangolo dalle relazioni

$\dotY_{ij}= (\dotY_i \dotY_j)/ (\sum_{k=1}^4 \dotY_k) $

ma direi che non ci sia convenienza a farlo.

... Quindi, supponendo di mettere i segni come in figura, potrei ottenere la tensione $\vec V_{12}$ in questo modo ... E' corretto?

Certo che sì !

... Nel tuo procedimento non hai tenuto conto dell'impedenza collegata ai morsetti 1-3, quindi è assolutamente inutile per il nostro scopo? Potrei anche staccarla dal circuito e nulla cambierebbe?

Cambierebbero le correnti di linea in ingresso alla prima e alla terza fase, ma non quella in ingresso alla seconda, che la sola richiesta dal problema.

... Supponendo di sostituire il vero circuito dell'esercizio con quello che ho disegnato io a mano, il mio procedimento IN QUESTO CASO sarebbe stato corretto?

Se fosse stato quello il circuito sì, ma dovevi accorgerti che non poteva essere corretto dal semplice fatto che la fase 1 di ingresso, in quel caso, viene a essere direttamente collegata alla fase 1' del motore, mentre nel circuito originale è collegata attraverso un'impedenza.

BTW Le mie consuete domande (che forse ti ho già fatto): a) dove, b) cosa stai studiando, c) su che testo di riferimento?

Ti ringrazio per i chiarimenti. Sto studiando Elettrotecnica all'Università di Napoli Federico II, dal libro "Introduzione alle Reti Elettriche" di L. Verolino.