Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda CosenTheta » 07/09/2019, 17:39

Si consideri il seguente integrale:

\(\displaystyle I = \iint_{D} |\cos(x+y)| dxdy \)

da risolvere sul dominio:

\(\displaystyle D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq x\leq \pi, 0\leq y \leq \pi\}. \)


Per semplificare l'integranda, ho considerato la trasformazione:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
u = x+y \\
v = x
\end{matrix}\right. \)

il cui determinante Jacobiano in modulo risulta di valore unitario.
Dalle informazioni del dominio, ricavo che \(\displaystyle 0\leq x+y \leq 2\pi \), quindi il nuovo dominio risulta essere:

\(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u \leq 2\pi\} \).

Impostando finalmente il nuovo integrale, risulta:
\(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} dv \int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du = \pi\int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du \)
L'integrale del coseno si svolge semplicemente spezzando l'intervallo di integrazione, in modo tale da togliere il valore assoluto. Il risultato che ottengo è $4\pi$, quando in realtà dovrebbe risultare $2\pi$.

Quali sono gli errori in questo procedimento? Vi ringrazio.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda RenzoDF » 07/09/2019, 21:37

CosenTheta ha scritto:... Quali sono gli errori in questo procedimento? ...

Direi nella trasformazione (non corrispondenza) del dominio.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda DeltaEpsilon » 07/09/2019, 21:54

CosenTheta ha scritto:\(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u \leq 2\pi\} \).


Non è \(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u-v \leq \pi\} \) ?
Ultima modifica di DeltaEpsilon il 07/09/2019, 23:00, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda CosenTheta » 07/09/2019, 22:21

RenzoDF ha scritto: Direi nella trasformazione (non corrispondenza) del dominio.


Potresti mostrarmi come lo scriveresti?
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda RenzoDF » 07/09/2019, 22:28

Più che scriverlo, direi che posso rappresentare la non corrispondenza in forma grafica

Ultima modifica di RenzoDF il 08/09/2019, 14:01, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda CosenTheta » 07/09/2019, 23:25

L'unica cosa che mi viene in mente è riscrivere $D^{'}$ in questo modo:

$D′={(v,u)∈R^{2}:0≤v≤π,v≤u≤v+\pi}$
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda RenzoDF » 08/09/2019, 09:58

Esatto :smt023

Le rette: superiore $y=\pi$ e inferiore $y=0$, del dominio $D$ portano rispettivamente a
$u=v+\pi$ e $u=v$,
mentre ovviamente, per le due verticali $v=0$ e $v=\pi$.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda CosenTheta » 08/09/2019, 18:16

A questo punto, impostando nuovamente l'integrale su questo dominio, ottengo:

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi} dv \int_{v}^{v + \pi} |\cos(u)|du\)

ma avendo la variabile $\u$ che non varia più tra due costanti, ma tra $v$ e $v+\pi$, come discuto
il modulo per poterlo togliere?
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda RenzoDF » 09/09/2019, 09:11

Hai ragione, possiamo suddividere quel dominio in otto parti


suddivisione che, grazie alla periodicità della funzione integranda, permetterà di determinare l'integrale cercato I, a partire dai due integrali elementari I1 e I2, via $I=4(I_1+I_2)$, dove:

$I_1=\int_{0}^{\pi/2}\text{d}v\int_{v}^{\pi/2} \ \cos u \ \text{d}u$

e

$I_2=\int_{\pi/2}^{\pi }\text{d}v\int_{v}^{\pi } -\cos u \ \text{d}u$.
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Re: Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

Messaggioda CosenTheta » 10/09/2019, 00:07

Grazie mille per l'aiuto.
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