da CosenTheta » 29/09/2019, 20:27
Considerando allora come condizione iniziale \(\displaystyle i_{L}(0) = 0 \), e chiamando \(\displaystyle i(t) \) la corrente che attraversa il generatore e \(\displaystyle i_{R}(t) \) quella che attraversa la resistenza del ramo trasversale, imposto il seguente PdC:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
-e(t) + Ri(t) + Ri_R(t) = 0
\\-Ri_R(t) + Ri_L(t) + L\frac{di_L}{dt} = 0
\\i(t) = i_R(t) + i_L(t)
\end{matrix}\right.\)
Con varie sostituzioni, ottengo, in definitiva:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\frac{di_L}{dt} + \frac{3R}{2L}i_L(t) = \frac{e(t)}{2L}
\\i_L(0) = 0
\end{matrix}\right.\)
Risolvendo l'omogenea associata risulta \(\displaystyle \lambda = \frac{-3}{10\alpha} \), quindi la soluzione è la seguente: \(\displaystyle i_{Lo}(t) = Ae^\lambda t\)
Per quanto riguarda la soluzione particolare, la ricerco nell'insieme delle rette del tipo: \(\displaystyle i_{Lp}(t) = B + Ct \).
Per trovare B e C sostituisco nell'equazione differenziale questa soluzione, applico il principio d'identità dei polinomi e ottengo come valori di B e C:
\(\displaystyle C = -5\alpha \)
\(\displaystyle B = 1 + \frac{50\alpha^2}{3} \)
Infine, per trovare la costante \(\displaystyle A \), considero la soluzione \(\displaystyle i_L(t) = i_{Lp}(t) + i_{Lo}(t) \) alla quale applico le condizioni iniziali, trovando che \(\displaystyle A = -B \).
Allora \(\displaystyle i_{L}(t) = B(1 - e^\lambda t) + Ct\).
Per quanto riguarda l'energia nell'intervallo richiesto, scrivo:
\(\displaystyle \Delta U = \frac{L}{2} (i^2_L(5\alpha) - i^2_L(0)) \).
"È la somma che fa il totale!"
(Antonio Griffo Focas Flavio Angelo Ducas Comneno Porfirogenito Gagliardi de Curtis di Bisanzio)