[Controlli Automatici] PID ideale vs PID reale

[maverick12357]

Salve ho un dubbio riguardo il controllo PID: in particolare ho un grosso dubbio riguardo l 'azione derivativa; ho letto che un PID ideale cioè quello che presenta 1 polo è 2 zeri non è realizzabile fisicamente in quanto la sua fdt non rispetta la condizione di causalità, cioè è impossibile prevedere il futuro ovvero un controllo PID ideale implica che il segnale di uscita del controllo al tempo t è dipendente dall'andamento dell'ingresso in instanti successivi a t . Per questo motivo è irrealizzabile fisicamente: questo cosa significa? che non posso realizzare un componente fisico quindi Hardware che mi dia una legge PID ideale? E se utilizzassi un controllo digitale via software , si potrebbe ottenere un controllo PID ideale? O è del tutto impossibile sia via hardware che via software cioè utilizzando metodi numerici che inserisco nel computer , diciiamo un po' come fa simulink? Cioè se io io utilizzassi un metodo di discretizzazione della derivata tramite software potrei prevdere il segnale in ingresso a istanti successivi per via numerica potendo cosi realizzare un pid ideale? Se non è possibile come fa Simulink a simularmi il controllo quando io inserisco l'azione derivativa ideale ? Grazie per chi mi risponde

[Quinzio]

Ok, ma il problema di un PID ideale non e' che sia "non causale".
Da dove ti e' venuta questa idea ?

[maverick12357]

Ok, ma il problema di un PID ideale non e' che sia "non causale".
Da dove ti e' venuta questa idea ?

Ciao, su molti libri e file trovati su internet universitari, ho letto frasi del tipo "per rendere il pid ideale realizzabile fisicamente, si inserisce un polo in alta frequenza tale che sia causale ecc ecc ecc." Adesso: Un PID ideale che funzioni da ideale è mai stato realizzato al mondo? Sul mercato esistono PID ideali o no? Se esistono, la dicitura "ideale" che senso ha? se posso realizzarlo digitalmente "ideale" che senso ha?

[ingres]

Una domanda interessante che merita un approfondimento.

"L'azione derivativa ideale non è realizzabile". L'affermazione, con spiegazioni un pò diverse, è ad esempio riportata in:
a) https://it.wikipedia.org/wiki/Controllo_PID
b) https://www.unife.it/ing/lm.meccanica/i ... ri_PID.pdf

Peraltro, spesso si afferma che per rendere l'azione derivativa realizzabile si introduce un filtro con una costante di tempo $T_d/N$, il che francamente confonde più che chiarire: e se non si volesse introdurre questo filtro?

L'azione derivativa ideale (cioè valida per tutte le frequenze) è intrinsecamente irrealizzabile a prescindere dal filtro.
Questa affermazione appare intuitiva se si pensa alle realizzazioni analogiche. Ad esempio un derivatore ottenuto da un operazionale rimane tale solo entro la banda di frequenza in cui l'operazionale può essere considerato ideale. Dopo interviene la funzione di trasferimento del guadagno che introduce delle costanti di tempo nel derivatore.
Il caso di un regolatore digitale sembra più promettente, ma anche in questo caso è facile rendersi conto che non è così.
Consideriamo una semplice derivazione numerica del tipo $T_d(dx(t))/(dt) approx T_d(x(t)-x(t-T))/T$ ove T è il tempo di campionamento. La formula applicata ad un gradino unitario darà come risultato (nell'ambito del passo di calcolo) $T_d/T$. Quindi, anche nel caso di T piccolo, il valore è comunque finito e non è un impulso. In pratica è come se fosse presente un filtro e di questo possiamo renderci conto (in modo approssimato e non rigoroso) osservando che la funzione di trasferimento connessa al calcolo è
$T_d(1-e^(-sT))/T = T_d(e^(sT)-1)/(T e^(sT)) approx (sT_d)/(1+sT)$
avendo sviluppato l'esponenziale al primo ordine. Per l'applicazione di un gradino unitario nei primi istanti questa funzione fornisce proprio $T_d/T$.

Ma allora perché si introduce il filtro? L'azione filtrante per così dire "naturale" non evita l'eccessiva sensibilità al rumore ad alta frequenza e non evita che, a fronte di una variazione improvvisa, il derivatore dia un'uscita molto elevata che stressa l'organo di comando. L'introduzione del filtro riduce la sensibilità al rumore e impone un guadagno massimo di uscita del derivatore pari a N.
Inoltre in alcuni PID commerciali l'azione derivativa non è applicata all'errore ma solo alla variabile di processo, che non è tipicamente in grado di variare a gradino, mentre questo è possibile per l'ingresso di riferimento.