Allora l'esercizio è il seguente:
Ho un sistema LTI formato dalla cascata di due sistemi LTI con risposta impulsiva pari a: $ h_(1)=u(t-2) $ e $ h_(2)=sign(-t)Pi (t/2) $ .
Mi chiede di determinare la risposta impulsiva del sistema complessivo e rappresentarla graficamente credo che questo punto sia riuscito a risolverlo vedete se ho fatto bene:
Ho per prima cosa cercato di trasformare con Fourier le mie due risposte impulsive $ h_(1)$ e $ h_(2)$, perchè sapendo che la serie di due risposte impulsive, nel tempo continuo è uguale alla convoluzione delle risposte, nel dominio della frequenza è il prodotto delle risposte in frequenza e quindi la seconda è più facile da calcolare.
$ h_(1)=u(t-2) $ è un gradino traslato di uno
$ h_(1)=u(t-2) rarr H_(1)(f)=(e^(-j4pi))/(j2pif)+1/2delta (f)e^(-j4pi) $
$ h_(2)=sign(-t)Pi (t/2) $ disegnando mi sono accorto che la moltiplicazione della riflessione del segnale signum e di un gradino genera due finestre speculari ribaltate sull'asse delle x: $ h_(2)=Pi (t+1/2)-Pi (t-1/2) $
$ H_(2)(f)=sinc(f)e^(-jpif)-sinc(f)e^(-jpif) = 2j*sinc(f)((e^(-jpif)- e^(-jpif))/(2j)) =2j*sinc(f)sin(pif)$
Quindi ottengo la mia risposta impulsiva complessiva moltiplicando $ H_(2)(f) e $ $ H_(1)(f) $ e ottengo:
$ H_(TOT)(f)= (2j*sinc(f)sin(pif))*((e^(-j4pi))/(j2pif)+1/2delta (f)e^(-j4pi) )=$ $=2j*sinc(f)(sin(pif))/(2jpif)e^(-j4pi)+ 2j*sinc(f)(sin(pif))delta(f)e^(-j4pi) =$ $= sinc^(2)(f)e^(-j4pi)+ j*sinc(0)(sin(0))delta(f)e^(-j4pi)=sinc^(2)(f)e^(-j4pi) $
quindi antitrasformo $H_(TOT)(f)$ e se non ho detto solo idiozie dovrebbe essere: $ h_(1)(t)= F^(-1)[sinc^(2)(f)e^(-j4pi)]=Lambda(t-2) $
Se fino a qui non ho fatto errori da qui la mia ignoranza e ciucciagine si fa sentire
Il punto due mi chiede di calcolare l'uscita $ y(t) $del sistema quando ho in ingresso un segnale $ x(t) $ di periodo 8 i cui coefficienti di fuorier non nulli sono $ X_(1)=2 $ e $ X_(2)=4j $ e poi di calcolare la media e potenza di $ x(t) $ e $ y(t) $.
Quindi ho pensato "bene" di usare le formule per calcolare l'uscita $ y(t) $ di un sistema LTI per segnali periodici e ottenere $ y(t) $ per poi antitrasformarla per $ Y(f) $ per ricavare $ x(t) $ sfruttando la proprietà della risposta impulsiva: $ H(f)=(Y(f))/(X(f)) rArr X(f)=(Y(f))/(H(f)) $ sto facendo bene? Oppure ci sono altri modi più veloci e semplici?
$ y(t)= A_(0)H(0)+2 sum_(k=1)^(INF) A_(k)|H(kf_(0))|cos(2pikf_(0)+vartheta_(k)+/_ (H(kf_(0))) $
Avendo $ X_(1)=2 $ e $ X_(2)=4j$ e gli altri nulli tra cui anche $ X_(0)=0 $ dovrei avere questo:
$ y(t)= 4|H(1/8)|cos(pi/4+vartheta_(1)+/_H(1/8))+8j|H(3/8)|cos((3pi)/(4)+vartheta_(3)+/_H(3/8)) $
Il dubbio lo ho sopratutto su per $ y(t) $ e soprattutto su:
-$ vartheta_(1) $ e $ vartheta_(3) $ come li calcolo?
- mentre $ /_H(1/8) $e $ /_H(3/8) $ come li calcolo?
Mentre mi sembra impossibile che escono certi numeri così elevati sul modulo? Metto il primo giusto per far vedere se il procedimento che faccio lo faccio in modo corretto:
$ |H(1/8)|= |sinc^(2)(1/8)| = |(sin^(2)(pi/8))/(pi/8)^2|=|(sqrt(2-sqrt(2))/2)^(2)/( (pi/8)^2)|= | (64-32sqrt(2))/pi| $
Ma è mai possibile un ampiezza del genere? Tolgo il modulo e ho fatto?
$ (128-64sqrt(2))/pi|cos(pi/4+vartheta_(1)+/_H(1/8)) $
