[Teoria dei Segnali] Valor medio segnale aperiodico

[CasellaJr]

Salve a tutti, volevo chiedervi un chiarimento riguardante il valor medio di un segnale non periodico.
Se non erro, la formula per calcolarlo dovrebbe essere questa: $ <x(t)> = lim_(T -> oo) 1/Tint_(-T/2)^(T/2) x(t) dx $
A questo punto mi chiedo, non dovrebbe fare sempre 0 a causa di quell'1/T? Visto che comunque l'integrale si riduce a essere calcolato tra due numeri, in quanto all'esterno il segnale sarà nullo.
Grazie

[RenzoDF]

Quello da te indicato è il valore medio su tutto l'asse dei tempi, ovvero la "componente continua" del segnale, ed è chiaro che se il segnale è nullo esternamente ad uno o più intervalli finiti, sarà anch'esso nullo.

In generale il valor medio è relativo ad un intervallo finito, ovvero

$ M(t_1,t_2) = 1/(t_2-t_1)\ int_(t_1)^(t_2) x(t)\ \text{d}t $

[CasellaJr]

Grazie per la risposta.
Quindi, la differenza tra il valor medio di un segnale periodico, e uno non periodico sta nel fatto che nel primo caso ho $ 1/T $ con T periodo, mentre nel secondo caso ho $ 1/(t2-t1) $ con t2 e t1 gli estremi dell'intervallo in cui il segnale è diverso da 0. Giusto?

[RenzoDF]

Per un segnale periodico, il tuo integrale sull'intero asse dei tempi sarebbe uguale al valor medio del segnale sul suo periodo T, valore che allorché nullo ti permetterebbe di affermare che il segnale è "alternato".

... mentre nel secondo caso ho $ 1/(t2-t1) $ con t2 e t1 gli estremi dell'intervallo in cui il segnale è diverso da 0. Giusto?

No, possiamo anche voler determinare il valore medio su un intervallo di tempo su una parte del quale il segnale è nullo: pensa per esempio alla ricerca della "componente continua" di un segnale alternato raddrizzato a una singola semionda.

Per le grandezze alternate sinusoidali poi, si conviene di indicare come "valore medio" proprio quello relativo ad una singola semionda, anche se seguendo la normale definizione il segnale avrebbe un valor medio nullo (come avviene per tutte le grandezze "alternate").

[CasellaJr]

Perdonami, potresti aiutarmi nell'applicare questi concetti a un esempio pratico?
Il testo è il seguente:
Ho un segnale, x(t) definito in questo modo $ x(t) = rect((t-30/1000)/(1/100)) $ e un altro segnale, y(t), che è la periodicizzazione di x(t), con periodo T = $ 15/1000 $ , ovvero, questo: $ y(t) = sum_(n = \-oo )^(+oo) x(t-15/1000n) = sum_(n = \-oo )^(+oo) rect((t-30/1000 - 15/1000n)/(1/100)) $
A questo punto dovrei calcolare valor medio ed energia di entrambi i segnali. Per quanto riguarda y(t) penso di averlo fatto giusto, ovvero:
$ y(t) = 1/T int_(-T/2)^(T/2) y(t) dt = 1000/15 int_(-15/2000)^(15/2000) x(t) dt $
Tuttavia siccome il segnale è nullo al di fuori dell'intervallo $ [-5/1000; 5/1000] $ allora cambio gli estremi di integrazione con quelli del nuovo intervallo e ottengo risultato $ 2/3 $ (i valori -5/1000 e 5/1000 li ho considerando la replica di x(t) in 0)
Mentre invece, nel caso del valor medio di x(t) $ <x(t)> = lim_(T -> +oo) 1/T int_(-T/2)^(T/2) x(t) dt = 0 $ in quanto il segnale è nullo in questo intervallo.
E' corretto?

[RenzoDF]

Ok per i 2/3 per y(t), che è un segnale periodico e quindi ha un valor medio su tutto l'asse dei tempi pari a quello in un singolo periodo, e ok anche per il valor medio nullo per x(t), sempre su tutto l'asse dei tempi, ma per quest'ultimo non deriva dal fatto che il segnale "è nullo in questo intervallo" (come affermi) ma dal fatto che non essendo nullo solo nell'intervallo temporale fra 25 e 35 millisecondi, porta ad un rapporto fra l'integrale (finito) e T (crescente) che, al limite, tende a zero.

[CasellaJr]

Ti ringrazio per la risposta.
Ultima domanda, per chiarire meglio: nell'integrale quindi gli estremi di integrazione sono $ [-15/2000 ; 15/2000] $ oppure tra 25 e 35 millisecondi? Perchè il risultato sarebbe 0 in entrambi i casi, visto che nel primo caso il segnale è nullo, mentre nel secondo caso il segnale non è nullo, ma dovrei comunque poi andare a dividere per T che tende a infinito

[RenzoDF]

Gli estremi di integrazione sono variabili e, partendo da zero, vanno ad allargarsi simmetricamente all'origine, ne segue che crescendo T/2 l'intervallo di integrazione andrà ad un certo punto (\(T/2=25\ \text{ms}\)) ad includere (parzialmente) l'intervallo di definizione della funzione e quindi a far crescere linearmente l'integrale fino a \(T/2=35\ \text{ms}\)), passando da un valore nullo ad un valore finale costante; ma la sua divisione per T porterà quel valor medio a decrescere tendendo, da quel secondo punto in poi, iperbolicamente a zero, per T tendente a infinito.

[CasellaJr]

Ancora una volta, grazie per la risposta. Adesso credo di avere ben chiara la situazione.
Gentilissimo