[Elettrotecnica] Calcolo della conduttanza di un cilindro conduttore con piccolo spessore

Messaggioda CosenTheta » 27/10/2019, 17:12

Si consideri il cilindro conduttore in figura, di sezione $\pi a^2$ e resistività $\rho$, e si supponga che sia immerso in un campo magnetico uniforme diretto parallelamente all'asse del cilindro, con andamento:
$\vec{B(t)} = B \sqrt{2} \sin(\omega t)$

Immagine

Si immagini poi che il conduttore sia composto da tanti tubi cilindrici coassiali di piccolo spessore, che indicheremo con $\Delta r$. Il generico tubo di raggio interno $r$, spessore $\Delta r$ e lunghezza $L$, può essere pensato come una spira che si concatena con il flusso $\Phi(t) = \pi r^2 B(t)$.

La situazione è questa in figura:

Immagine

Dalla legge di Faraday, è noto che in tale spira si induce una fem pari a

$e(t) = - \frac{d\phi}{dt}$

A questo punto, per calcolare la corrente indotta nella spira, mediante la relazione $I = EG$, occorre calcolare la conduttanza della stessa mediante la seconda legge di Ohm; dato che

$R = \frac{\rho L}{S} \rightarrow G = \frac{S}{\rho L}$ dove S ed L sono rispettivamente area della sezione del cilindretto considerato e la sua lunghezza.

Dunque

$G = \frac{S}{\rho L} = \frac{(L \Delta r)}{(2\pi r)\rho}$.

con $S = L \Delta r$ e $L = 2\pi r$.

I miei due dubbi sono questi:
1) Per quale motivo un cilindro di raggio $r$, spessore $\Delta r$ e lunghezza $L$ viene assimilato ad una spira? Non sono due cose totalmente diverse, visto che una spira è un circuito (quindi chiuso, tra l'altro) di spessore trascurabile?

2) Non riesco a capire per quale motivo, e questo è il dubbio principale, nel calcolo della conduttanza $G$
vengano considerate come $S = L \Delta r$ e $L = 2\pi r$. Osservando la figura che mostra il cilindretto più interno, la sezione $S$ non dovrebbe essere pari a $\pi (r + \Delta r)^2$, mentre la lunghezza $L$ dovrebbe proprio coincidere con $L$ stessa, visto che la lunghezza del cilindretto e quella del cilindro più esterno sono le stesse?

Vi ringrazio.
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della conduttanza di un cilindro conduttore con piccolo spessore

Messaggioda renat_ » 27/10/2019, 19:26

Ciao!
Se tieni ben presente che la corrente generata dal campo magnetico percorre il cilindro in modo circolare (e non longitudinalmente come penso tu abbia capito) i dubbi si chiariscono da soli ;)
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della conduttanza di un cilindro conduttore con piccolo spessore

Messaggioda CosenTheta » 10/11/2019, 17:15

renat_ ha scritto: Se tieni ben presente che la corrente generata dal campo magnetico percorre il cilindro in modo circolare (e non longitudinalmente come penso tu abbia capito)


Ti ringrazio per la risposta. Sì, effettivamente avevo pensato che la corrente si muovesse semplicemente in maniera longitudinale al cilindro, però non riesco a capire che cosa intendi quando parli di percorrenza in modo circolare, nel senso che non riesco proprio a immaginarmi il moto di queste cariche e soprattutto in che parte di cilindro si muovono. Potresti delucidarmi magari con un disegno?
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della conduttanza di un cilindro conduttore con piccolo spessore

Messaggioda Quinzio » 12/11/2019, 05:57

1)
Si una spira di solito viene rappresentata come un anello di spessore piccolo.
Ma non ha importanza lo spessore. Se metti tante spire una a fianco dell'altra, formeranno un tubo, e ogni spira si comporta in modo identico alle altre (supposto che il campo magnetico è uniforme).
2)
Non sono cilindretti, sono tubetti (vuoti dentro). Sono tipo una manica, non so come spiegarlo.
Hai presente una fetta di cipolla ? Che e' fatta da tanti anelli ? Ogni anello e' una spira.

N.B: La corrente gira in circolo, non e' coassiale col cilindro.
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Re: [Elettrotecnica] Calcolo della conduttanza di un cilindro conduttore con piccolo spessore

Messaggioda CosenTheta » 13/11/2019, 18:43

Grazie. Verifichiamo se ho capito: affinché risulti $L = 2 \pi r$, dove L è la lunghezza della traiettoria percorsa,
gli elettroni devono muoversi sulla circonferenza più interna, come ho segnato in figura:

Immagine

Per quanto riguarda la superficie $S$ attraversata dalle cariche durante questo moto, dovrebbe essere più facile visualizzarla vedendo il cilindro di lato:

Immagine

Questo giustificherebbe $S = L \Delta r$.

E' corretto?
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