[Teoria dei sistemi] Dubbio sulla risposta ingresso con un vuoto
Inviato: 30/10/2019, 22:09
Salve a tutti stavo cercando di risolvere questo esercizio ma ho alcuni dubbi:
1) Devo stabilire per quali valori di G il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile.
2) Questo sistema ha come ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $
Il primo punto credo di averlo fatto bene e l'ho svolto così:
Innanzitutto ho considerato la serie tra le due funzioni sul ramo di azioni ottenendo: $ W_(1)(z)=(10G)/((z-1)(z+0.3)) $ poi ho calcolato la funzione di trasferimento del mio sistema complessivo considerando che sul ramo di retroazione ci fosse una funzione di trasferimento pari a : $ W_(2)(z)=1 $ ottendo così una funzione di trasferimento complessivo pari a:
$ W(z)=(W_(1)(z))/(1+W_(1)(z)W_(2)(z)) =(10G)/((z-1)(z+0.3)+10G)= (10G)/(z^(2)-0.7z-0.3+10G) $
Quindi mi ricavo il valore di $ G $ tramite la formula : $ q(s)=(s-1)^(n)((s+1)/(s-1))^(n) $
Ottenendo: $ q(s)=(s-1)^(2)(s+1)^(2)/(s-1)^(2) -0.7 (s-1)^(2)(s+1)/(s-1)+(10G-0.3)(s-1)^(2)= $
$= s^(2)+2s+1-0.7s^(2)+0.7s-10Gs^(2)-20Gs+10G-0.3s^(2)+0.6s-0.3 =$
$ =10Gs^(2)+s(206-20G)+10G+1,4 $
$ { ( 10G>=0 ),( 2.6-20G>=0 ),( 1.4-10G>=0 ):}=>{ ( 10G>=0 ),( G<=0.13 ),( G>=-0.14 ):}=> 0<=g<=0.13 $
Scelgo il valore di $G=0.03$ ottenendo $ W(z)=(0.3)/(z^(2)-0.7z-0.3+0.3)=(0.3)/(z(z-0.7)) $
Il mio ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $ quindi ho un ingresso di ampiezza $1$ sinusoidale che parte da meno infinito e arriva a $5$ poi l'ingresso si arresta e riparte da un gradino che parte da 8 e va a infinito e di ampiezza $ 2 $.
Quindi ho diviso gli instanti in per:
1)CASO:$k<=5$
Mi calcolo la risposta in frequenza con questa formula: $ y(k)=|W(2k)|U_(0)sin(2k +/_W(2k) ) $
$ { ( |W(2k)=0.07 ),( /_W(2k)=2.80 ):}=>y(k)=0.07sin(2k +2.80 ) $
2)CASO: $5<k<8$
Da questo punto il mio sistema dovrebbe andare in evoluzione libera quindi mi sono calcolato lo stato del sistema successivo all'instante in cui cessa azione dell'ingresso sinusoidale, cioè mi sono calcolato $x_(0)(6)$, e poi ho calcolato la risposta libera del sistema con la formula: $ y(k)=psi (z)X_(0) $
Calcolo innanzitutto la $ H(z) $ del sistema ricavandola sfruttando la forma canonica di controllo che mi ricavo dalla $ W(z) $ del sistema.
$ W(z)=0.3/(z(z-0.7))=>{ ( A=[ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ]; ),( B=[ ( 1 ),( 0 ) ]; ),( C=[ ( 0 , 0.3 )]):} =>(zI-A)^(-1)=[ ( z-0.7 , 0 ),( -1 , z ) ]^(-1)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ])/(z(z-0.7)) $
$ H(z)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( 1 ),( 0 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( z ),( 1 ) ])/(z(z-0.7))=[ ( z/(z(z-0.7)) ),( 1/(z(z-0.7)) ) ] $
$ H_(1)(z)= z/(z(z-0.7)) =>|H_(1)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H(2k) )=0.47sin(2k-1.90)=>x_(1)(6)=-0.29$
$ H_(2)(z)= 1/(z(z-0.7)) =>|H_(2)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H_(2)(2k)) =0.24sin(2k-2.81)=>x_(2)(6)=-0.06$
$ y_(lib)(k-6)=Z^(-1)[psi(z)X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[zC(zI-A)^(1) X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6) $
$ Y(z)=(z[ ( 0, 0.3 ) ][ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( 0.3, z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/((z-0.7))= (-0.9 + 0.06z-0.04)/((z-0.7)) = = (-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))$
$y_(lib)(k)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6)=Z^(-1)[(-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))]_(k=k-6) = Z^(-1)[A/((z-0.7))]_(k=k-6) $
$ R_(1)=lim_(x -> 0.7) ((-0.94 + 0.06z)(z-0.7))/(z-0.7)=-0.94 + 0.04=-0.9 $
$y_(lib)(k)= Z^(-1)[-0.9/((z-0.7))] = -0.9(0.7)^(k) => y_(lib)(k-6)=-0.9(0.7)^(k-6) $
3)CASO:$k>=8$
Qui inizio ad avere qualche dubbio e sicuramente mi sbaglierò ma faccio questa domanda proprio per farmi correggere e aumentare la sicurezza nelle mie conoscenze.
In questo caso devo solo calcolare la risposta forzata? Oppure devo considerare che la forzata parte da uno stato libero e quindi la forzata viene influenzata dalla libera? Devo calcolarmi la risposta a regime e quella transitoria?Ho qualche dubbio su come si calcoli la risposta a regime e quella transitoria potreste darmi le formule per il loro calcolo? O se potete farmi vedere come calcolarla in questo caso?
Io comunque l'ho calcolata così la risposta spero di aver sbagliato per imparare di più.
Dopo $ 8 $ così considerando il segnale $u(k)=2xx 1(k-8)$:
$ y(k-8)=Z^(-1)[W(z)U(z)]_(k-8)= Z^(-1)[0.3/(z(z-0.7))(2z)/(z-1)]_(k-8)=Z^(-1)[0.6/((z-0.7)(z-1))]_(k-8)= Z^(-1)[A/(z-0.7)+B/(z-1)]_(k-8)$
$ A=lim_(x -> 0.7) (0.6(z-0.7))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-1)=-2 $
$ B=lim_(x -> 1) (0.6(z-1))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-0.7)=2 $
$ y(k-8)=Z^(-1)[-2/(z-0.7)+2/(z-1)]_(k-8)=2xx 1(k-8)-2(0.7)^(k-8)$
1) Devo stabilire per quali valori di G il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile.
2) Questo sistema ha come ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $
Il primo punto credo di averlo fatto bene e l'ho svolto così:
Innanzitutto ho considerato la serie tra le due funzioni sul ramo di azioni ottenendo: $ W_(1)(z)=(10G)/((z-1)(z+0.3)) $ poi ho calcolato la funzione di trasferimento del mio sistema complessivo considerando che sul ramo di retroazione ci fosse una funzione di trasferimento pari a : $ W_(2)(z)=1 $ ottendo così una funzione di trasferimento complessivo pari a:
$ W(z)=(W_(1)(z))/(1+W_(1)(z)W_(2)(z)) =(10G)/((z-1)(z+0.3)+10G)= (10G)/(z^(2)-0.7z-0.3+10G) $
Quindi mi ricavo il valore di $ G $ tramite la formula : $ q(s)=(s-1)^(n)((s+1)/(s-1))^(n) $
Ottenendo: $ q(s)=(s-1)^(2)(s+1)^(2)/(s-1)^(2) -0.7 (s-1)^(2)(s+1)/(s-1)+(10G-0.3)(s-1)^(2)= $
$= s^(2)+2s+1-0.7s^(2)+0.7s-10Gs^(2)-20Gs+10G-0.3s^(2)+0.6s-0.3 =$
$ =10Gs^(2)+s(206-20G)+10G+1,4 $
$ { ( 10G>=0 ),( 2.6-20G>=0 ),( 1.4-10G>=0 ):}=>{ ( 10G>=0 ),( G<=0.13 ),( G>=-0.14 ):}=> 0<=g<=0.13 $
Scelgo il valore di $G=0.03$ ottenendo $ W(z)=(0.3)/(z^(2)-0.7z-0.3+0.3)=(0.3)/(z(z-0.7)) $
Il mio ingresso $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $ quindi ho un ingresso di ampiezza $1$ sinusoidale che parte da meno infinito e arriva a $5$ poi l'ingresso si arresta e riparte da un gradino che parte da 8 e va a infinito e di ampiezza $ 2 $.
Quindi ho diviso gli instanti in per:
1)CASO:$k<=5$
Mi calcolo la risposta in frequenza con questa formula: $ y(k)=|W(2k)|U_(0)sin(2k +/_W(2k) ) $
$ { ( |W(2k)=0.07 ),( /_W(2k)=2.80 ):}=>y(k)=0.07sin(2k +2.80 ) $
2)CASO: $5<k<8$
Da questo punto il mio sistema dovrebbe andare in evoluzione libera quindi mi sono calcolato lo stato del sistema successivo all'instante in cui cessa azione dell'ingresso sinusoidale, cioè mi sono calcolato $x_(0)(6)$, e poi ho calcolato la risposta libera del sistema con la formula: $ y(k)=psi (z)X_(0) $
Calcolo innanzitutto la $ H(z) $ del sistema ricavandola sfruttando la forma canonica di controllo che mi ricavo dalla $ W(z) $ del sistema.
$ W(z)=0.3/(z(z-0.7))=>{ ( A=[ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ]; ),( B=[ ( 1 ),( 0 ) ]; ),( C=[ ( 0 , 0.3 )]):} =>(zI-A)^(-1)=[ ( z-0.7 , 0 ),( -1 , z ) ]^(-1)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ])/(z(z-0.7)) $
$ H(z)=([ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( 1 ),( 0 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( z ),( 1 ) ])/(z(z-0.7))=[ ( z/(z(z-0.7)) ),( 1/(z(z-0.7)) ) ] $
$ H_(1)(z)= z/(z(z-0.7)) =>|H_(1)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H(2k) )=0.47sin(2k-1.90)=>x_(1)(6)=-0.29$
$ H_(2)(z)= 1/(z(z-0.7)) =>|H_(2)(2k)|U_(0)sin(2k +/_H_(2)(2k)) =0.24sin(2k-2.81)=>x_(2)(6)=-0.06$
$ y_(lib)(k-6)=Z^(-1)[psi(z)X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[zC(zI-A)^(1) X_(0) ]_(k=k-6)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6) $
$ Y(z)=(z[ ( 0, 0.3 ) ][ ( z, 0 ),( 1 , z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/(z(z-0.7))=([ ( 0.3, z-0.7 ) ][ ( -0.29 ),( 0.06 ) ])/((z-0.7))= (-0.9 + 0.06z-0.04)/((z-0.7)) = = (-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))$
$y_(lib)(k)=Z^(-1)[Y(z)]_(k=k-6)=Z^(-1)[(-0.94 + 0.06z)/((z-0.7))]_(k=k-6) = Z^(-1)[A/((z-0.7))]_(k=k-6) $
$ R_(1)=lim_(x -> 0.7) ((-0.94 + 0.06z)(z-0.7))/(z-0.7)=-0.94 + 0.04=-0.9 $
$y_(lib)(k)= Z^(-1)[-0.9/((z-0.7))] = -0.9(0.7)^(k) => y_(lib)(k-6)=-0.9(0.7)^(k-6) $
3)CASO:$k>=8$
Qui inizio ad avere qualche dubbio e sicuramente mi sbaglierò ma faccio questa domanda proprio per farmi correggere e aumentare la sicurezza nelle mie conoscenze.
In questo caso devo solo calcolare la risposta forzata? Oppure devo considerare che la forzata parte da uno stato libero e quindi la forzata viene influenzata dalla libera? Devo calcolarmi la risposta a regime e quella transitoria?Ho qualche dubbio su come si calcoli la risposta a regime e quella transitoria potreste darmi le formule per il loro calcolo? O se potete farmi vedere come calcolarla in questo caso?
Io comunque l'ho calcolata così la risposta spero di aver sbagliato per imparare di più.
Dopo $ 8 $ così considerando il segnale $u(k)=2xx 1(k-8)$:
$ y(k-8)=Z^(-1)[W(z)U(z)]_(k-8)= Z^(-1)[0.3/(z(z-0.7))(2z)/(z-1)]_(k-8)=Z^(-1)[0.6/((z-0.7)(z-1))]_(k-8)= Z^(-1)[A/(z-0.7)+B/(z-1)]_(k-8)$
$ A=lim_(x -> 0.7) (0.6(z-0.7))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-1)=-2 $
$ B=lim_(x -> 1) (0.6(z-1))/((z-1)(z-0.7))=lim_(x -> 0.7) 0.6/(z-0.7)=2 $
$ y(k-8)=Z^(-1)[-2/(z-0.7)+2/(z-1)]_(k-8)=2xx 1(k-8)-2(0.7)^(k-8)$