Metto sotto un problema che in parte ho risolto ma mi manca il risultato analitico del problema.
L'esercizio mi chiede di calcolare per la seguente f.d.t:
$ G(s)=-10(s^(2)+400)/(s^(3)+22s^(2)+22s+K) $
1) I valori di K per cui esso è asintoticamente stabile, ed il valore di $ K=K_(1) $ per cui esso ha un polo in $ s=-1 $ e per questo valore tracciare i diagrammi di Bode e fornire la stima della banda passante.
Visto che il polinomio è di terzo grado applico routh ottengo:
$ | ( 1 , 41 ),( 22 , K ),( (K-902)/-22 , 0 ),( K , 0 ) | $ $ =>0<K<902$
Dove
$ b_(1)=| ( 1 , 41 ),( 22 , K ) | /(-22)=(K-902)/-22 $
$ c_(1)=| ( 22 , K),( (K-902)/-22, 0) |/((K-902)/-22)=K $
Prima domanda: Come faccio a fare il calcolo di routh tramite matlab?
Ho provato usando questo algoritmo, vorrei capire ho sbagliato a calcolarmelo oppure a programmare?
>> syms K
>> p3=[1 22 41 K]
p3 =
[ 1, 22, 41, K]
>> p4=roots(p3)
p4 = 361/(9*(((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)) + (((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3) - 22/3
- (3^(1/2)*(361/(9*(((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)) - (((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3))*1i)/2 - 361/(18*(((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)) - (((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)/2 - 22/3
(3^(1/2)*(361/(9*(((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)) - (((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3))*1i)/2 - 361/(18*(((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)) - (((K/2 + 6589/27)^2 - 47045881/729)^(1/2) - K/2 - 6589/27)^(1/3)/2 - 22/3
Per quanto riguarda i diagrammi grafici come quelli di Bode e nyquist sono riuscito a farli non ho avuto difficoltà.
2) Calcolare la risposta al segnale $ u(t)=tdelta_(-1)(t-5)+ 2 sen(3t)+delta_(-1)(-t) $
Ho considerato per:
- $ t=<0 $ che il gradino riflesso, che parte da $ 0 $ a va a $ -oo $ si somma al seno gli fa aumentare l'ampiezza e quindi ottengo il segnale $ 3 sen(3t) $,
- $ 0=<t=<5 $ c'è solo come ingresso il $ 2 sen(3t) $
- $ t=>5 $ $ u(t)=tdelta_(-1)(t-5)+ 2 sen(3t) $ si sommano solo questi due segnali
Credo di trovarmi con matlab con il mio ragionamento:
- $ t=<0 $ ho calcolato la risposta in frequenza di $ 3 sen(3t) $
$ y_(sen)(t)= |G(jomega_(0))|U_(0)sin(omega_(0)t+ /_G(3jomega_(0))) =57.99sen(3t+0.50) $
- $ 0=<t=<5 $ c'è solo come ingresso il $ 2 sen(3t) $
$ y_(sen)(t)= |G(jomega_(0))|U_(0)sin(omega_(0)t+ /_G(jomega_(0))) =38.66sen(3t+0.50) $
- $ t=>5 $ $ u(t)=tdelta_(-1)(t-5)+ 2 sen(3t) $ si sommano le due risposte:
La prima già l'ho calcolata: $ y_(sen)(t)=38.66sen(3t+0.50) $
La seconda è la risposta al gradino e la calcolo trasformando $ u(t)=tdelta_(-1)(t-5) = (t-5)delta_(-1)(t-5) + 5delta_(-1)(t-5)$ ottenendo: $ U(s)=[1/s^(2)+1/s]_(t=t-5) = [U_(1)(s)+U_(2)(s)]_(t=t-5)$
$ y_(g)(t)= L^(-1)[W(s)U_(1)(s)+W(s)U_(2)(s)]_(t=t-5)=L^(-1)[Y_(A)(s)+Y_(B)(s)]_(t=t-5)$
$ y_(A)(t)=e^(-5t)delta_(-1)(t)(-200-410t-0.05e^(-20t)-211.05e^(-t)+410.06te^(-t)) $
$ y_(B)(t)=e^(-5t)delta_(-1)(t)(-1000+5.54e^(-20t)+1055.26e^(-t)+94.46te^(-t)) $
Risposta totale:
$ y(t)={ ( 57.99sen(3t+0.50)| t<=0 ),(),( 38.66sen(3t+0.50)| 0<=t<=5 ),(),( e^(-5t)delta_(-1)(t)[-1200-410t-5.49e^(-20t)+e^(-t)(-8044.21+504.52t)]|t>=5 ):} $
Questo è il sistema fatto in simulink e la sua risposta:
Seconda domanda: Vorrei confrontare il mio risultato con matlab, come faccio a far calcolare a Matlab/Simulink la risposta $ y(t) $ del mio sistema al segnale? Quindi come faccio ad avere la mia risposta al sistema in termini di funzioni e non di grafici? Mi genererebbe mai una risposta così matlab:
.
$ y(t)={ ( 57.99sen(3t+0.50)| t<=0 ),(),( 38.66sen(3t+0.50)| 0<=t<=5 ),(),( e^(-5t)delta_(-1)(t)[-1200-410t-5.49e^(-20t)+e^(-t)(-8044.21+504.52t)]|t>=5 ):} $
