[Elettrotecnica] Circuiti equivalenti di un trasformatore in accoppiamento perfetto e non

Messaggioda CosenTheta » 10/11/2019, 18:42

Si consideri un trasformatore in accoppiamento perfetto, ossia che risulti la condizione

$M^2 = L_{1}L_{2}$

dove $L_{1}$ ed $L_{2}$ sono i coefficienti di autoinduzione dei due avvolgimenti che formano il trasformatore, mentre $M$ la mutua induttanza.

In questo caso, la caratteristica di tale doppio bipolo si può scrivere nella seguente maniera:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\bar{V_{1}} = j\omega L_{1} \bar{I_{1}} + j \omega M \bar{I_{2}}
\\\bar{V_{2}} = j\omega L_{2} \bar{I_{2}} + j \omega M \bar{I_{1}}
\end{matrix}\right. \)

Considerando la prima equazione del sistema, ottengo $\bar{I_{1}}$ in questo modo:

$\bar{I_{1}} = \frac{\bar{V_{1}}}{j \omega L_{1}} - \frac{M \bar{I_{2}}}{L_{1}}$

Il termine $\frac{\bar{V_{1}}}{j \omega L_{1}}$, da un punto di vista elettrotecnico, sta a rappresentare una reattanza $\omega L_{1}$ posta in parallelo alla porta primaria, quindi il circuito equivalente è il seguente:

Immagine

Tuttavia, applicando questo ragionamento agli altri casi, se ricavo $\bar{I_{1}}$ anche dalla seconda equazione, ottengo il termine $\frac{\bar{V_{2}}}{j \omega M}$, quindi nel circuito dovrebbe comparire anche una reattanza $\omega M$ alla porta secondaria;
ancora, ripetendo lo stesso procedimento per $\bar{I_{2}}$, dovrei avere anche una reattanza $\omega M$ al primario e una reattanza $\omega L_{2}$ al secondario.

Di tutte queste reattanze, ne compare soltanto una nello schema, perché?



Si consideri ora il caso di un trasformatore in accoppiamento non perfetto.
In questa situazione, si scelgono quattro valori $L_{1}^{(1)}$, $L_{1}^{(2)}$, $L_{2}^{(1)}$, $L_{2}^{(2)}$, tali che

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)} = L_{1}\\
L_{2}^{(1)} + L_{2}^{(2)} = L_{2}\\
L_{1}^{(1)}L_{2}^{(1)} = M^2
\end{matrix}\right.\)

Riscrivendo la caratteristica del trasformatore, si ha (scegliendo di porre $L_{2}^{(1)} = 0$):

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\bar{V_{1}} = j \omega L_{1}^{(1)} \bar{I_{1}} + j \omega M \bar{I_{2}} + j \omega L_{1}^{(2)}\bar{I_{1}}\\
\bar{V_{2}} = j \omega M \bar{I_{1}} + j \omega L_{2}^{(2)} \bar{I_{2}}
\end{matrix}\right.\)

Di nuovo, applicando il ragionamento visto in precedenza, ricavando $\bar{I_{1}}$ dalla prima equazione del sistema, si ottiene

$\bar{I_{1}} = \frac{\bar{V_{1}}}{j \omega (L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)})} - \frac{M \bar{I_{2}}}{L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)}}$.
Il primo termine porterebbe a pensare a questa situazione circuitale:

Immagine

e invece si scopre avere questo circuito equivalente:

Immagine


Perchè una delle due reattanze è invece posta in serie alla porta primaria?


Grazie mille.
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Re: [Elettrotecnica] Circuiti equivalenti di un trasformatore in accoppiamento perfetto e non

Messaggioda RenzoDF » 10/11/2019, 19:25

Premesso che, per non confondere i termini, sarebbe preferibile parlare di un mutuo induttore ideale (e non di trasformatore) ad accopiamento perfetto, in tutto il tuo discorso stai dimenticando di evidenziare il comportamento del doppio bipolo "trasformatore ideale", che insieme a $L_1$ modella il mutuo induttore ideale ad accoppiamento perfetto; in particolare, quali sono le sue due relazioni costitutive e quale la relazione fra quel parametro $a$ e i parametri del mutuo induttore ideale?

Per quanto riguarda poi la seconda parte del tuo messaggio (con accoppiamento non perfetto), se per "convenienza" di modellazione, andiamo a considerare l'induttore L1 frazionato in due parti, che senso ha continuare a considerarne la somma? :wink:

$\bar{I_{1}} = \frac{\bar{V_{1}}}{j \omega (L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)})} - \frac{M \bar{I_{2}}}{L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)}}$.


La separazione ci serve per poter scrivere

$\bar{V_{1}} - j \omega L_{1}^{(1)} \bar{I_{1}} = j \omega L_{1}^{(2)}\bar{I_{1}} + j \omega M \bar{I_{2}} $

che associata alla

$\bar{V_{2}} = j \omega M \bar{I_{1}} + j \omega L_{2}^{(2)} \bar{I_{2}}$

ci permetterà (andando a considerare una tensione $V_1$ ridotta della caduta di tensione su $L_{1}^{(1)}$), di ricondurci e quindi riutilizzare il modello circuitale equivalente già ottenuto per il caso di accoppiamento perfetto.

NB E' chiaro che quel sistema a tre equazioni e quattro incognite ci dà un grado di libertà, sul quale "giocare", per andare ad ottenere diversi circuiti equivalenti.

Occhio però in quanto la tua scelta per il parametro nullo non risulta coerente con il sistema e con il circuito equivalente postato. ;-)
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Re: [Elettrotecnica] Circuiti equivalenti di un trasformatore in accoppiamento perfetto e non

Messaggioda CosenTheta » 13/11/2019, 19:16

RenzoDF ha scritto:Per quanto riguarda poi la seconda parte del tuo messaggio (con accoppiamento non perfetto), se per "convenienza" di modellazione, andiamo a considerare l'induttore L1 frazionato in due parti, che senso ha continuare a considerarne la somma?

$\bar{I_{1}} = \frac{\bar{V_{1}}}{j \omega (L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)})} - \frac{M \bar{I_{2}}}{L_{1}^{(1)} + L_{1}^{(2)}}$.


La separazione ci serve per poter scrivere

$\bar{V_{1}} - j \omega L_{1}^{(1)} \bar{I_{1}} = j \omega L_{1}^{(2)}\bar{I_{1}} + j \omega M \bar{I_{2}} $

che associata alla

$\bar{V_{2}} = j \omega M \bar{I_{1}} + j \omega L_{2}^{(2)} \bar{I_{2}}$

ci permetterà (andando a considerare una tensione $V_1$ ridotta della caduta di tensione su $L_{1}^{(1)}$), di ricondurci e quindi riutilizzare il modello circuitale equivalente già ottenuto per il caso di accoppiamento perfetto.


Grazie mille.


quali sono le sue due relazioni costitutive e quale la relazione fra quel parametro a e i parametri del mutuo induttore ideale?


\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
a = \frac{L_{1}}{M} = \frac{M}{L_{2}}\\
v_{1}(t) = av_{2}(t)
\\ i_{1}(t) = \frac{-i_{2}(t)}{a}
\end{matrix}\right. \)


Occhio però in quanto la tua scelta per il parametro nullo non risulta coerente con il sistema e con il circuito equivalente postato.


Sì errore mio, intendevo $L_{2}^{(2)} = 0$.
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