Integratore invertente reale

[RenzoDF]

per 2<t<6 utilizzo sempre il metodo asintotico:
dove $V_C(\infty)= 0 $ perchè se il transitorio finisse lui sarebbe scarico giusto? ...

No, in quell'intervallo il condensatore si andrà a scaricare, a partire dal valore raggionto per t=2 us, andando a scendere ad una certa $V_C(6 \ \text{ms})$ da determinare. La discesa finale asintotica a zero inizierà per t=6 ms.

... $V_C(2^+)=V_C(2^-)=2,53V$

Esatto.

... quindi $V_C(t)=2,53 e^-((t-2)/\tau) $ dove $\tau=R_2*C$

Errato, in quanto la tensione non tende a zero ma bensì a ... volt.

Dai, coraggio, che quasi ci siamo.

[arianna1998]

nell'intervallo precedente abbiamo posto che $V_C(\infty)= (R_2/R_1)*V_{IN}$ perchè alla fine dell'intervallo il condensatore sarebbe stato carico e non avrebbe fatto scorrere corrente, quindi il circuito si sarebbe semplificato a una configurazione invertente standard, in questo caso invece come posso sapere che non si scarica completamente a 6s? mentre prima a priori sapevo si sarebbe scaricato a t=2 millisec ? O sto sbagliando tutto?

[arianna1998]

prima si caricava con $\tau = R_2*C = 2 millisec $ quindi sapevo che sarebbe stato carico a fine intervallo?

[RenzoDF]

... in questo caso invece come posso sapere che non si scarica completamente a 6s? ...

Devi semplicemente andare a considerare che per t=2 ms la sua tensione è pari a 2.53 volt e che, visto che l'ingresso passa a -1 volt, C andrà a scaricarsi esponenzialmente "verso" una nuova tensione di regime pari a -2 volt, ancora con costante di tempo $R_2C$¹; scritta questa funzione del tempo, potrai valutare $V_C(6 \ \text{ms})$ e controllare se anche in questo caso l'OA non va a saturare, per convalidare l'ipotesi della nota.

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Note

1. Visto che il suo morsetto sinistro lo ipotizziamo vincolato a zero. ↑

[RenzoDF]

prima si caricava con $\tau = R_2*C = 2 millisec $ quindi sapevo che sarebbe stato carico a fine intervallo?

No, un condensatore non è (completamente) carico dopo una¹ costante di tempo.

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Note

1. In teoria non lo sarebbe mai, in pratica ce ne vorrebbero almeno cinque (e quindi 10 ms). ↑

[arianna1998]

quindi avrei che $V_C(t) =2-(2-2,53)*e^-((t-2)/(R_2*C)) $?
$V_{OUT}$ va quindi all'incirca a -2V e non satura

[RenzoDF]

Scusa, avevo dimenticato un segno : VC (con positivo a sinistra), parte da +2.53 per t=2us
e va verso i -2 volt per t tendente a infinito, e quindi, con tempi espressi in millisecondi, nell'intervallo $2 < t < 6$

$v_C(t)=v(\infty)-[v(\infty)-v(0)]\cdot e^{-(t-2)/(R_2C))=-2-[-2-2.53]\cdot e^{- (t-2)/(R_2C)}=-2+4.53\cdot e^{- (t/2-1)}\ \text{V}$

di conseguenza

$v_C(6)\approx -1.39 \ \text{V}$

e l'OA con $v_{OUT}(6)=+1.39 \ \text{V}$ non satura, come ipotizzato.

[arianna1998]

Ok perfetto!
Ma la spiegazione concettuale del perchè la tensione del condensatore a infinito risulta essere così nei due diversi intervalli ?
Come devo ragionare? Devo pensare a cosa succederebbe qualora finisse il transitorio?

[RenzoDF]

... Ma la spiegazione concettuale del perchè la tensione del condensatore a infinito risulta essere così nei due diversi intervalli ?

La tensione per t che tende ad infinito è quella "prevista" in mancanza di variazioni delle grandezze forzanti la rete; il condensatore, per $t=2^+$ "vede" un generatore da -1 volt, forzare una corrente di scarica di un milliampere e non può "prevedere" che per t=6 ms, quel generatore si annullerà.

... Come devo ragionare? Devo pensare a cosa succederebbe qualora finisse il transitorio?

Devi pensare come il condensatore; mettersi nei suoi "panni circuitali".

[arianna1998]

Quindi è come se pensassi a come si comporterebbe quel condensatore se la tensione 2V adesso ( o -1V dopo) rimanesse in continua fino all'infinito?