[Controlli Automatici] Calcolo risposta all'ingresso sen(2πt)1(-t) + 1(t)

[Wyve]

Salve a tutti, ho un po' di dubbi sul come trattare alcuni tipi di esercizi riguardanti il calcolo della risposta forzata di un sistema, sono ancora alle prime armi e mi sono imbattuto in questo tipo di esercizio.

Io ho questa funzione di trasferimento:

$ G(S) = 2/(s^2 + 2s +2) $

e devo calcolare la risposta all'ingresso

$ u(t) = sen(2πt)1(-t) + 1(t) $

Purtroppo non so proprio come approcciarmi a questo problema. Sono riuscito a fare altri problemi della stessa tipologia ma con segnali d'ingresso più semplici ma questo non so proprio da dove iniziare. Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.

Spero che qualcuno possa aiutarmi e ringrazio chi mi risponderà.

[RenzoDF]

... Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.

Se quello è il segnale di ingresso, non vedo quale sia il tuo problema.

[Wyve]

... Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.

Se quello è il segnale di ingresso, non vedo quale sia il tuo problema.

Ciao, provo a spiegarmi meglio.
Il mio problema è che non so come comportarmi dinanzi a segnali del genere e in particolare quando c'è quell' $ 1(-t) $. Io banalmente calcolerei la trasformata di Laplace di tale segnale e procederei come al solito. Infatti sapendo che $ Y(S) = G(S)U(S) $ moltiplicherei il risultato di questa trasformata a $ G(S) $ e dopodiché farei l'antitrasformata. Tuttavia non credo che questa sia la via corretta. Infatti penso che sarebbe necessario fare più considerazioni anche perché il risultato di questo esercizio è

$ y(t) = { ( ((1−2π^2 )sen(2πt)−2πcos(2πt))/(1+4π^2) )
,( -(2e^(−t)π(2π^2sin(t)+cos(t)))/(4π^4 + 1)-e^(−t) sin(t)−e^(−t) cos(t)+1 ):} $

La prima se $ t < 0 $ ;
la seconda se $ t ≥ 0 $.

Dunque: come faccio a calcolare questi due risultati? In particolare come faccio a distinguere i due casi? E qual è il metodo giusto di procedere?

[RenzoDF]

Premesso che la mia era una battuta sul tuo errore di battitura,

$sin(2\pi)$

per risolvere quel problema (ad esempio) rimanendo nel dominio del tempo, trasformerei quella funzione di trasferimento nella corrispondente equazione differenziale del secondo ordine, per poi andare a risolverla prima per t<0 poi per t>0.
Per t<0, con ingresso sinusoidale, andrei a ricercare la soluzione y(t) nella classica forma $A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$, ricavando facilmente i due coefficienti A e B; soluzione che poi mi permetterebbe di ottenere le condizioni iniziali $y(0)$ e $\dot y(0)$ per risolvere l'eq. diff. anche per t>0, con ingresso costante.

Poi, chiaramente, volendo passare nel dominio della frequenza, la soluzione potrebbe essere ottenuta anche via trasformata di Laplace bilatera, ... ROC permettendo.

[Sinuous]

In subordine a quanto ti è appena stato consigliato potresti anche procedere applicando la trasformata di Fourier (che corrisponde alla applicazione della trasformata di Laplace bilatera con σ=0) al segnale di ingresso, ottenere l’uscita per prodotto con la fdt ($Y(ω)=X(ω)*G(ω)$) e antitrasformare.

Ancora potresti considerare che il segnale di ingresso può essere riscritto come: $x(t)= sen(2πt)-sen(2πt)*u(t)+u(t)$. La risposta al primo contributo puoi calcolarla con Fourier, oppure con il calcolo fasoriale; le risposte agli altri due segnali direttamente con la trasformata unilatera di Laplace.

[RenzoDF]

Per t < 0

$y(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$



... per t > 0

$y(t)=C e^-t\sin(t)+De^-t \cos(t)+1$

di conseguenza, continuando con wxMaxima