[Elettrotecnica] Calcolo dell'energia assorbita da un trasformatore ideale

[CosenTheta]

Nell'ambito del trasformatore ideale, la dimostrazione della relazione \(\displaystyle M^2 = L_{1}L_{2} \) (dove \(\displaystyle M \) è il coefficiente di mutua induzione e $L_{1}$ ed $L_{2}$ quelli di autoinduzione) avviene considerando il calcolo dell'energia infinitesima assorbita dal doppio bipolo, che vale

\(\displaystyle dU = L_{1}i_{1}di_{1} + L_{2}i_{2}di_{2} + M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1}). \)

che integrando ambo i membri, dai miei appunti risulta essere uguale a

\(\displaystyle U(t) = \frac{1}{2}L_{1}i_{1}^2 + Mi_{1}i_{2} + \frac{1}{2}L_{2}i_{2}^2.\)

Tuttavia, esplicitando il calcolo dell'integrazione, noto una piccola incongruenza con il risultato, in particolare con il termine di mezzo \(\displaystyle Mi_{1}i_{2} \).

Difatti:

\(\displaystyle U(t) = \int{L_{1}i_{1}di_{1}} + \int{L_{2}i_{2}di_{2}} + \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})}. \)

I primi due integrali restituiscono correttamente i due termini al quadrato di \(\displaystyle U(t) \), il problema è il terzo integrale che risolto darebbe:

\(\displaystyle \int{M(i_{1}di_{2} + i_{2}di_{1})} = M(\int{i_{1}di_{2}}+\int{i_{2}di_{1}}) = Mi_{1}i_{2} + Mi_{2}i_{1} = 2Mi_{1}i_{2}. \)

Il problema è quel 2 davanti che non dovrebbe esserci; infatti, continuando la dimostrazione, arrivo poi a provare che \(\displaystyle 4M^2 = L_{1}L_{2} \), che è ben diverso dal risultato originale. Dove sbaglio? Grazie.

[RenzoDF]

Premesso che (come già ti ricordavo in un tuo precedente thread) stai ancora confondendo il "mutuo induttore ideale ad accoppiamento perfetto" con il "trasformatore ideale" (che sono due doppi bipoli non equivalenti), direi che sbagli nel non considerare che integrando, non puoi ritenere i1 e i2 contemporaneamente, ma solo separatamente costanti, nel qual caso uno dei due ultimi integrali risulterebbe nullo. Oppure puoi ricordare che

\(i_1\mathrm{d}i_2+i_2\mathrm{d}i_1=\mathrm{d} (i_1i_2) \)

[CosenTheta]

stai ancora confondendo il "mutuo induttore ideale ad accoppiamento perfetto" con il "trasformatore ideale"

Confermi che l'unica differenza tra i due bipoli riguarda il fatto che il primo, a differenza del secondo, tiene conto anche del fattore di mutua induttanza?

integrando, non puoi ritenere i1 e i2 contemporaneamente costanti

Perché?

[RenzoDF]

... Confermi che l'unica differenza tra i due bipoli riguarda il fatto che il primo, a differenza del secondo, tiene conto anche del fattore di mutua induttanza?

No, confermo il fatto che un mutuo induttore ideale perfetto equivale ad un trasformatore ideale + un induttore in parallelo ad uno dei due ingressi, ovvero al seguente circuito

fig.1

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... Perché?

Semplicemente perché, se disegni il piano delle due variabili di stato $i_1,i_2$, non sarai in grado di disegnare nessun percorso che partendo dall'origine O, porti al generico punto P di coordinate $i_1,i_2$, mantenendo costanti entrambe; puoi solo (per esempio) mantenere nulla $i_1$ e variabile la $i_2$, per poi tenere costante quest'ultima e variabile la prima (oppure viceversa), ed è chiaro che l'energia finale U, accumulata dal mutuo induttore, che è funzione delle sole variabili di stato, sarà sempre la stessa, qualunque sia il percorso che porta da O a P.

[CosenTheta]

Perché l'energia assorbita deve essere necessariamente una funzione di stato?

[BOOM]

Perché l'energia assorbita deve essere necessariamente una funzione di stato?

Perché se calcoli l'energia assorbita in un intervallo \(\displaystyle t_{0},t_{1} \) ti accorgerai che essa dipende solo dal valore delle correnti (che sono le variabili di stato) in tali intervalli