[Teoria dei sistemi, Controlli Automatici II] Esercizi di Controllo Ottimo Inverso

[ilgaglioffo]

Buonasera a tutti,
è il mio primo post e vi ringrazio per le eventuali risposte che mi fornirete.

Sto cercando di preparare l'esame di Ottimizzazione nei Sistemi di Controllo, ma sono bloccato su alcune tipologie di esercizi.

Comincerei con il primo tipo:




Come devo soddisfare le due richieste? Ci sto sbattendo la testa da giorni, ma non riesco proprio ad impostare alcun ragionamento; peraltro, vedendo il punteggio "basso" per le due parti dell'esercizio, credo che si tratti davvero di pochissimi passaggi...

Vi ringrazio anticipatamente e vi auguro una buona serata!

[Riccardo Desimini]

Sei a conoscenza dell’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)? Nel tuo caso torna decisamente utile.

Si tratta infatti di un problema di controllo ottimo su orizzonte infinito dove, assegnato un sistema dinamico lineare $\dot x = Ax+Bu$, con $A$ e $B$ matrici di dimensione $n times n$ e $n times m$ rispettivamente, si vuole progettare una legge di controllo in retroazione dallo stato allo scopo di minimizzare il funzionale di costo quadratico $J(u)=\int_0^\infty (x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)) dt$, con $Q=Q^T\succeq 0$ e $R=R^T \succ 0$.

Per tale problema, l’equazione HJB assume la forma:
$0=\min_u { x^T Q x + u^T R u + \sum_{i=1}^n \frac{\partial V(x)}{\partial x_i} (a_i^T x + b_i^T u)}$
dove $a_i^T$ e $b_i^T$ sono l’$i$-sima riga di $A$ e $B$, rispettivamente, mentre $V$ è la funzione valore citata dal tuo testo.

Unendo queste informazioni con quelle date dal tuo testo puoi:
1) Ricavare l’espressione della derivata parziale di $V$ rispetto a $x_2$ (quella rispetto a $x_1$ te la fornisce il testo) imponendo l’annullamento della derivata rispetto a $u$ dell’espressione tra graffe nella HJB, isolando $u$ e ponendolo uguale alla legge ottima assegnata;
2) Determinare un valore di $a$ per il quale la legge assegnata è ottima sostituendo nell’espressione tra graffe nella HJB la legge data dal testo e la derivata parziale ricavata e ponendo il tutto uguale a zero.
3) Ricavare il costo associato alla legge ottima tramite l'espressione $V(x(0))=\frac{1}{2} x(0)^T M x(0)$, dove la matrice $M$ può essere calcolata, sfruttando la conoscenza delle derivate parziali di $V$, tramite la relazione $\frac{\partial V(x)}{\partial x}^T = Mx$.