Densità Spettrale di Potenza

[kiral95]

Salve a tutti, so che ci sono moltissimi esercizi svolti su questo argomento, ma il mio è un dubbio più teorico che altro e spero possa riuscire a risolverlo con voi.
Ho questo segnale nel tempo:

$ x(t)=2+cos(2Pi t 1/ (T0))+2delta (t) $

In quanto devo calcolare la sua potenza, ho pensato sia meglio integrare la dsp del segnale.
Procedo con la trasformata:
$ x(f)=2delta (f)+ 1/2delta (f-text(f){::}_(0)) + 1/2delta (f+text(f){::}_(0))+2 $

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la DSP si calcola facendo $ lim_(x ->oo ) (W(F)^2)/T $ dove W(F) e' il segnale troncato in un periodo.
Da qui in poi non so come procedere.
Prima di tutto devo sommare a tutte le delta il contributo della costante due.
Procedo a calcolare la dps delle varie delta: $2delta (f)$ è uguale a 4 grazie al contributo e quindi:
$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (4^2)/T $ + $ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) ((5/2)^2)/T $+$ int_ $ $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $
Come risolvo? Il periodo T vale 1 in quanto impulso?
l'integrale perde di significato in quanto area sottesa di un impulso. Quindi assumendo T=1 la P= $16+25/4+25/4$

Manca solo la componente continua $2$ e qui casca l'asino. : $ lim_(x ->oo ) (2^2)/T $ La durata della costante è infinita non ho proprio idea di come risolvere. Riuscite ad aiutarmi?

[Sinuous]

A parte i problemi con i calcoli, l’analisi spettrale di potenza di un segnale come quello non è immediata: inoltre richiederebbe anche la valutazione degli gli spettri mutui delle diverse componenti.
Se lo scopo dell’esercizio è soltanto il calcolo dellla potenza, credo che la via più breve sia l’applicazione della formula tradizionale:

$Px=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T/2}^{+T/2}|x(t)|^{2}dt$

[kiral95]

Svolgo il calcolo della potenza nel tempo:

$ x(t)=2+ cos(2Πt1/T)dt +2δ(t) $


Banalmente divido l'integrale:
$ Px=limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2^2 dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) cos^2(2Πt1/T) dt $ + $ limT→∞1/T int_(-t/2)^(t/2) 2δ(t) dt $
=

$ 4+int_(-t/2)^(t/2) (cos(4Πt1/T) +1)/2+ 4int_(-t/2)^(t/2) δ^2(t) dt $

= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4Πt1/T)/2 dt+lim t-> oo 1/T int_(-T/2)^(T/2) 1/2 dt+ 4 $
= $ 4+lim t-> oo 1/Tint_(-T/2)^(T/2) (e^((j4pit1/T))+ e^((-j4pit1/T)))/2dt+1/2 +4$
= $ 4+lim t-> oo[ 1/2T [(e^((j4pit2/T))+ e^((-j4pit2/T)))/(j8pit1/T)-(e^((-j4pit2/T))+ e^((+j4pit2/T)))/(j8pit1/T)]+1/2+4 $ =8+1/2

[kiral95]

x(t)=2+cos(2Πt1T0)+2δ(t)

la potenza nel tempo diventa:
$ Px=limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 2^2 dt + limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos^2(2pit1/t)^2 dt+limT→∞2/Tint_(-T/2)^(T/2) delta^2 dt$
$Px=4+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) cos(4pit1/t)/2 dt+limT→∞1/Tint_(-T/2)^(T/2) 1/2dt +4 $



Il coseno è uguale a zero poichè funzione pari in un intervallo simmetrico, o anche perchè trasformando il coseno grazie alle formule di eulero alla fine otteniamo due termini che si ellidono.

Il mio unico dubbio adesso è l'integrale della delta al quadrato, per definizione l'integrale della delta è uguale a 1, ma della delta al quadrato non ho trovato nulla. Qualcuno sa aiutarmi? procedo assumendo che valga 1 e quindi ottengo:
$4+1/2+4=17/2$ che è diverso da quanto mi verrebbe se calcolato con la frequenza, ovvero 28.5

Ma colpo di scena,se in frequenza considerassi il due come 2*Delta(f) e non come costante allora verrebbe anch'esso 8.5. Se Mi confermate i calcoli in questa risposta possiamo chiudere il post, in quanto l'errore è stato considera il 2 come costante e non come 2*delta di dirac

[Sinuous]

Attenzione perché anche qui ci sono i prodotti incrociati dovuti al quadrato della somma delle tre componenti:

$|x(t)|^{2}=(2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))\cdot (2+cos(\omega ot)+\2\delta (t))$

Comunque, dovresti poter dimostrare che i prodotti incrociati non danno contributi, la potenza dovuta alla costante $2$ è $4$, la potenza dovuta al coseno è $1/2$, e la potenza dovuta alla delta di Dirac è nulla, come si può dimostrare: