[Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Cla1608 » 13/03/2020, 11:21

Buongiorno, come al solito ho bisogno di qualche delucidazione per sopperire a 12 anni di mancato studio.
Sto studiando il principio del lavori virtuali, mi trovo in un primo momento indicato che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura, dopo poche pagine mi trovo che la derivata seconda del vettore spostamento (ortogonale alla trave) è la curvatura cambiata di segno ... quale delle 2 è corretta?

Potete darmi (se possibile) una spiegazione grafica della questione, forse 15 anni fa non ci sarebbe stato bisogno!

Grazie
Cla1608
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Cla1608 » 15/03/2020, 09:35

Scusate la ripetizione, qualcuno può essermi di aiuto?

A parte il discorso del segno meno (credo sia una svista, è corretta la "versione" col segno meno), potete chiarirmi per favore il legame che c'è tra vettore spostamento (in direzione ortogonale alla trave) - curvatura della trave (associata al momento) - cedimento su vincolo rotazionale.

In pratica le ipotesi cinematiche per l'enunciato del principio del lavori virtuali (precisamente il teorema dei lavori virtuali), sono:

SPOSTAMENTI
$ vec(u) $ = vettore spostamento ortogonale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)
$ vec(w) $ = vettore spostamento longitudinale alla trave (funzione di z,con z coordinata longitudinale pt su trave)

DEFORMAZIONI
$ epsilon $ - deformazione longitudinale
$ gamma $ - deformazione angolare (trascurabile per corpi sufficientemente snelli)
$ kappa $ - curvatura

CEDIMENTI
$ zeta i $ cedimento longitudinale alla trave
$ zeta j $ cedimento ortogonale alla trave
$ phi k $ cedimento di rotazione

Per la congruenza interna avrò:
$ epsilon = vec(w)'$
$ kappa = -vec(u)''$ (- derivata seconda del vettore spostamento ortogonale alla trave)

Per la congruenza esterna su vincoli avrò:
$ zeta i $ = $ vec(w) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ zeta j $ = $ vec(u) $ (agli estremi, ossia sui vincoli)
$ phi k = -vec(u) '$ (agli estremi) (- derivata prima del vettore spostamento ortogonale alla trave)

In pratica non ho capito perchè sono rispettivamente - la derivata prima del vettore spostamento e - la derivata seconda del vettore spostamento ... siamo in ipotesi di piccoli spostamenti.

grazie
Cla1608
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda serendipity00 » 15/03/2020, 13:15

Questo non ha niente a che fare con il principio dei lavori virtuali.
Si tratta del modello di trave di Eulero-Bernoulli...se non te li ricordi ristudiatelo.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Cla1608 » 15/03/2020, 13:24

serendipity00 ha scritto:Questo non ha niente a che fare con il principio dei lavori virtuali.
Si tratta del modello di trave di Eulero-Bernoulli...se non te li ricordi ristudiatelo.


Il contesto era quello
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda serendipity00 » 15/03/2020, 14:05

Hai una curva nel piano, insomma pensala come una funzione y=f(x), cosa rappresentano la derivata prima e seconda della funzione, se la funzione è "poco curva"?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Cla1608 » 15/03/2020, 15:44

serendipity00 ha scritto:Hai una curva nel piano, insomma pensala come una funzione y=f(x), cosa rappresentano la derivata prima e seconda della funzione, se la funzione è "poco curva"?


In condizioni di funzione "qualsiasi" la derivata prima è il coefficiente angolare mentre la derivata seconda è il coefficiente angolare della derivata prima, rispetto alla funzione non derivata ci da indicazione di come cambia la derivata prima.

Per piccoli spostamenti (poco curva come dici tu) ... non saprei ... somareggio sorry
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda serendipity00 » 15/03/2020, 16:08

In condizioni di funzione "qualsiasi" la derivata prima è il coefficiente angolare mentre la derivata seconda è il coefficiente angolare della derivata prima, rispetto alla funzione non derivata ci da indicazione di come cambia la derivata prima

EH beh grazie :roll: :roll: :roll:

La derivata è la $tan\theta$ dell'angolo formato dalla tangente con l'asse orizzontale, se la funzione è "poco curva" allora $\theta$ è piccolo e quindi $y'=tan theta \ approx \theta$.

Per quanto riguarda la curvatura, si può dimostrare che vale:

$k=(y'')/(1+(y')^2)^(3/2)$

Se la derivata prima è trascurabile allora $k\approx y''$.

nel caso della trave si hanno i segni negativi perché prendiamo una y verso il basso (dove la y corrisponde allo spostamento verticale u), ma comuque ce chi li prende senza meno, dipende dalla convenzione scelta per gli angoli, ma non è importante.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Thememe1996 » 16/03/2020, 21:51

Ciao, se può essere utile, ho trovato questo link:

http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/G2curve.pdf

Alla pagina 9, in particolare:

Immagine

In pratica, se definisci la funzione u(x) in forma parametrica come (x; u(x)), poi puoi applicare la definizione di curvatura k, derivando due volte le componenti della forma parametrica e poi calcolandone la norma. Siccome derivando due volte x, questa diventa 0, avanza solo la componente u’’: se ne calcoli la norma, riottieni u’’.
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda Cla1608 » 16/03/2020, 22:08

Thememe1996 ha scritto:Ciao, se può essere utile, ho trovato questo link:

http://www.mat.uniroma2.it/~geo2/G2curve.pdf

Alla pagina 9, in particolare:

Immagine

In pratica, se definisci la funzione u(x) in forma parametrica come (x; u(x)), poi puoi applicare la definizione di curvatura k, derivando due volte le componenti della forma parametrica e poi calcolandone la norma. Siccome derivando due volte x, questa diventa 0, avanza solo la componente u’’: se ne calcoli la norma, riottieni u’’.
Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).

Grazie, si interessante
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Curvatura - Derivata seconda vettore spostamento

Messaggioda serendipity00 » 16/03/2020, 22:22

Quindi, k=u’’ (a meno del segno, a seconda delle convenzioni scelte).


Non credo proprio... :roll: Vale solo nelle ipotesi di derivata prima piccola
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