[Elettrotecnica] Insiemi di taglio

[maxira]

Ho letto la definizione di insieme di taglio, ma non capisco questi esempi.
Mi trovo con gli insiemi di taglio T1 e T6, perché se rimossi lasciano i lati 1,3 nel primo caso e 2,4 nel secondo caso. Tali lati sono sottografi connessi e sono tra loro separati, ma un lato a caso dell'insieme di taglio è capace di ricollegarli.
Tutti gli altri insiemi di taglio, però, non creano due sottografi connessi separati. Ad esempio, se rimuovo T2 restano i lati 2,3 collegati dal nodo 3, e dunque non separati.
Perché sono considerabili insiemi di taglio?

[RenzoDF]

Con quelle figure è chiaro che non lo puoi capire, ma ti rispondo chiedendoti:

i) come è definito un "grafo" ?

ii) come è definito un "taglio" ?

iii) come è definito un "insieme di taglio" ?

[maxira]

Un grafo è una funzione dei nodi e dei lati di un circuito. Crea una matrice d'incidenza che relaziona nodi e lati tramite un elemento uguale ad 1 se il lato è uscente dal nodo, -1 se entrante, 0 se non collegati direttamente.

Un taglio permette di dividere in due sottoinsiemi i nodi di un circuito.

Un insieme di taglio è un insieme di lati che divide un grafo connesso in due sottografi connessi ma separati tra loro. Inoltre la rimozione di tutti i lati dell'insieme di taglio tranne uno rende i due sottografi di nuovo connessi.

Per questo non mi trovo con gli esempi T2, T3, T4 e T5.

[RenzoDF]

Esatto, un "grafo" è un insieme di nodi e rami , un "taglio" è una partizione dell'insieme dei nodi, a cui corrisponde un "insieme di taglio"¹ costituito dall'insieme di tutti i rami che vanno a connettere le coppie di nodi dei due sottoinsiemi.

Nell'immagine da te postata, doveve essere evidenziato che l'insieme di taglio è costituito dai soli lati e non dai nodi.

Prendendo ad esempio il taglio T2, avrai quindi che la partizione dei nodi sarà {1,2,4} , {3} e l'insieme di taglio associato sarà costituito dai lati [2,3,5], ne segue che il primo sottografo sarà costituito dai nodi {1,2,4} e dai rami [1,4], il secondo grafo² dal solo nodo {3}.

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Note

1. Volendo essere precisi, per un generico grafo costituito da N parti separate, un "insieme di taglio" è un'insieme di lati del grafo che soddisfa alle seguenti proprietà:
   1. la rimozione di tutti i lati dell’insieme di taglio fa sì che il restante grafo abbia N + 1 parti separate;
   2. la rimozione di tutti i lati dell’insieme di taglio eccetto uno arbitrario lascia il grafo in N parti separate. ↑
2. Grafo degenere. ↑

[maxira]

Non ho capito molto bene.
Nel caso di T2, l'insieme di taglio non dovrebbe essere formato dai lati 1,4,5? (come nell'immagine?) Mentre la partizione dei nodi dovrebbe essere {1}, {2, 3, 4}.
E soprattutto non vedo ancora perché l'insieme dei tre lati 1,4,5 rimosso dal grafo dovrebbe creare due sottografi non connessi, dato che ciò che resta del grafo iniziale sono i due lati 2,3 che costituiscono un grafo connesso perché uniti dal nodo 3.
In pratica vorrei capire perché nel caso di T1 e T6, rimuovendo i lati dell'insieme di taglio, venga rispettata la definizione (perché restano rispettivamente i lati 1,3 e 2,4 del grafo, che sono separati) mentre negli altri casi no.

[RenzoDF]

Non ho capito molto bene.
Nel caso di T2, l'insieme di taglio non dovrebbe essere formato dai lati 1,4,5? (come nell'immagine?) Mentre la partizione dei nodi dovrebbe essere {1}, {2, 3, 4}. ...

Sì, scusa, ho confuso T2 con T5.

... E soprattutto non vedo ancora perché l'insieme dei tre lati 1,4,5 rimosso dal grafo dovrebbe creare due sottografi non connessi, dato che ciò che resta del grafo iniziale sono i due lati 2,3 che costituiscono un grafo connesso perché uniti dal nodo 3. ...

Rimossi i tre lati 1,4,5, il primo sottografo sarà costituito dal solo punto {1}, che è comunque, per definizione, un grafo "connesso", mentre il secondo sottografo (connesso) sarà costituito dal nodo 3 e dai lati 2 e 3.