[Teoria dei sistemi] Risposta forzata per un sistema stazionario LTID

[CosenTheta]

Sto tentando di dimostrare che per un sistema stazionario LTID, la risposta forzata può essere scritta come:

\(\displaystyle x_{fk} = \sum_{h = k_{0}}^{k - 1}A^{k-h-1}Bu_{h} \)

ma alcuni passaggi mi sono oscuri.

Si considera l'impulso di Kronecker, applicato all'istante h, come ingresso:

\(\displaystyle u_{k} = u_{h}\delta_{k-h} = u_{h}\) se $k = h$, $0$ altrimenti.

Quindi, risulta:

$x_{h + 1} = Ax_{h} + Bu_{h} = Bu_{h}$, poiché $x_{h} = 0$.

Primo dubbio: perché $x_{h}$ è nullo? h è generico o forse h lo considera come istante iniziale di osservazione? Purtroppo non lo dice in maniera esplicita. Confermate?

La dimostrazione poi continua dicendo:

"e da questo, il sistema evolve liberamente secondo l'equazione... $x_{k} = A^{k-(h+1}}x_{h+1}$"

Secondo dubbio: ma il teorema non ha come ipotesi l'evoluzione forzata? Come può mettere in mezzo quella libera?

Infine, la dimostrazione termina così:

"pertanto, poiché il segmento di ingresso $u_{[k_{0},k)}$ (e qui c'è ancora dubbio se sia h ad essere l'istante iniziale o $k_{0}$) può essere visto come somma di $k-k_{0}$ impulsi di ampiezza $u_{h}$, con h nell'intervallo $[k_{0},k)$, per la linearità del sistema risulta:"

\(\displaystyle x_{fk} = \sum_{h = k_{0}}^{k - 1}A^{k-h-1}Bu_{h} \).


Terzo dubbio: l'ingresso che aveva considerato non era un singolo impulso di Kronecker? Adesso parla di somme di impulsi.

Grazie.

[MrMojoRisin89]

Quanto al primo dubbio, credo che $x_h$ sia nullo perché è la somma di $Ax_(h-1) + Bu_(h-1)$, dove ancora l'impulso non ha agito