[Meccanica applicata] Matrice di inerzia e momento di inerzia

[Cla1608]

Buongiorno, una considerazione riguardo al momento di inerzia assiale calcolato con la matrice di inerzia.

Dato una corpo e la sua matrice di inerzia rispetto al riferimento generico il momento di inerzia rispetto a una qualsiasi retta $vec(r)=xhat(i) +yhat(j) + zhat(k) $ passante per l'origine del sistema di riferimento può essere calcolato così:

$I_(vec(r))=([I]*(x,y,z))(x,y,z)$

nel caso in cui ho una retta che non passa per l'origine posso considerare la retta passante per l'origine e appliccare il teorema di Huygens per il calcolo del momento di inerzia totale? Credo questo sia valido soltanto se l'origine del sistema di riferimento coincide col baricentro del corpo ...

[gtx]

Credo questo sia valido soltanto se l'origine del sistema di riferimento coincide col baricentro del corpo

Eh certo. Ma puoi fare così:

$I(O)=I(G)+md_1^2$
$I(O')=I(G)+md_2^2$

Quindi: $I(O')-I(O)=m(d_2^2-d_1^2)$

In questa notazione I(O), I(G) e I(O') sono i momenti di inerzia rispetto alla stessa retta passante per O, G e O' rispettivamente.

Il teorema di Hugens-Steiner si può generalizzare al tensore di inerzia nel seguente modo:


Chiamo $sigma$ il tensore di inerzia per non fare confusione di notazione:

$sigma(O)=sigma(G)+m[(vecd \cdot vecd)\mathbfI - \vecd \otimes \vecd)$

Essendo in questo caso $mathbf I$ il tensore identità.

Penso che si possa ulteriormente generalizzare senza far riferimento alla conoscenza del cdm.

[Cla1608]

Ciao, grazie per la conferma e la spiegazione! Sono l unico ad aver avuto problemi col forum questi giorni?

Per ricapitolare:

Per calcolare il momento di inerzia di un corpo (del quale è nota la matrice di inerzia baricentrica) rispetto a una retta generica $vec(r)$ di versore $hat(u)$

$ I_(vec(r))=([I_(G)]hat(u) )hat(u) +md^2 $

Dove $[I_(G)]$ è la matrice di inerzia baricentrica, $hat(u)$ è il versore di $vec(r)$, $m$ è la massa del corpo, $d$ è la distanza dal baricentro.

Nel caso invece in cui la matrice di inerzia non sia baricentrica $[I_(O)]$ dovrò calcolare il momento di inerzia rispetto una retta orientata come $vec(r)$ che chiamerò $vec(r')$ ma passante per $O$ avrò quindi:

$ I_(vec(r))=I_(G) +md_(vec(r))^2 $

$ I_(vec(r'))=I_(G) +md_(vec(r'))^2 $

Sottraendo le due relazioni avrò:
$ I_(vec(r))=I_(vec(r'))+m *( d_(vec(r))^2-d_vec(r')^2)$
$ I_(vec(r'))=([I_(O)] hat(u))hat(u)$

dove $d_(vec(r))$ e $d_(vec(r'))$ sono le distanze dal baricentro della terna rispetto alla quale è riferito il tensore di inerzia e la retta rispetto alla quale voglio calcolare il momento di inerzia

[gtx]

Tutto giusto, a parte il fatto che le distanze d coinvolte nel teorema sono le distanze tra le varie rette parallele passanti in O, O' e G, non tra i punti O, O' e G, è ben diverso.

[Cla1608]

Tutto giusto, a parte il fatto che le distanze d coinvolte nel teorema sono le distanze tra le varie rette parallele passanti in O, O' e G, non tra i punti O, O' e G, è ben diverso.

spero di essermi espresso male ... intendevo $d_vec(r)$ e $d_vec(r')$ sono le distanze delle rette $vec(r)$ e $vec(r')$ dal baricentro $G$, se ho capito bene rettifico il messaggio precedente (magari qualcuno dovesse leggerlo in futuro)

[gtx]

Allora c'è da fare qualche precisazione sul teorema di HS in forma scalare per il momento di inerzia e quello in forma vettoriale per il tensore d'inerzia.

Nel teorema in forma scalare per il momento di inerzia il termine $d$ è la distanza tra gli assi passanti rispettivamente in O e G (ovviamente assi paralleli), oppure equivalentemente la distanza tra l'asse passante in O e il punto G (oppure l'asse passante in G e il punto O), quindi questo

intendevo dr⃗ e dr'→ sono le distanze delle rette r⃗ e r'→ dal baricentro G

Va bene, nel caso scalare.


Nel caso tensoriale invece, cosa che non ho specificato nel mio post, il vettore $vecd$ è semplicemente la distanza tra il punto O e il punto G.

Prova a dimostrare che pre-e post moltiplicando quella relazione del teorema di HS in forma tensoriale per un versore $n$ ottieni il teorema di HS in forma scalare con la distanza tra gli assi invece che tra i punti.