Trasformata Fourier Segnale periodico

[enna]

Devo trovare la trasformata di Fourier di questo segnale $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } e^{- 2 \pi | \frac{t-nT_0}{T_0} |} $

Prima di tutto dato che è un segnale periodico allora vale:
La trasformata di Fourier di $ \sum_{n= - \infty }^{+ \infty } x_0 (t-nT) $ è uguale a $ X_0(kf_0) f_0 \delta (f- kf_0)$ . Ora quindi devi trovare il valore di $ X_0(kf_0)$ ma prima trovo il valore di $ X_0 (f) $

La trasformata di $ X_0(f) $ l’ho ricondotta a questa trasformata notevole :
La trasformata di $ e^{-a|t|} $ è uguale a $ \frac{2a}{a^{2} + w^{2} }$
Quindi la trasformata di $ e^{- 2 \pi | \frac{t-nT_0}{T_0} |} $ , che può anche essere scritto come $ e^{-2\pi |\ frac{t}{T_0} - n| } $ , allora sarà $ \frac{ 4 T_0 \pi }{4 (\pi )^{2} + w^{2} } $

Ora trovo $ X(k f_0) $ ponendo $ f= kf_0 $ , da cui ottengo $ X(k f_0) = \frac {T_0}{\pi + \pi k^{2} f_0^{2} } $

Da qui dunque ottengo che la $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} f_0 ^{2} } \delta(f- kf_0 ) $ mentre il risultato che il mio libro ottiene è $ X(f) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + k^{2} } \delta(f- kf_0 ) $

[Exodus]

Scegli una variabile o $f$ o $\omega$ .
Quando hai ultimato i calcoli fai le sostituzioni.
A me piace $\omega$, anche perchè devo scrivere solo un carattere invece di tre come in questo caso $2\pi f$

OK si parte:

\(X_{0}\left ( \omega \right )=ℱ\left [ e^{-\omega _{0}\left | t \right |} \right ]=2\frac{\omega _{0}}{\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}}\)

Calcolo i coefficienti che modulano le delte di Dirac:

\(C_{k}=\omega _{0}X_{0}\left ( k\omega _{0} \right )=2\frac{\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}+\left ( k\omega _{0} \right )^{2}}=\frac{2}{k^{2}+1}\)

La trasformata è completa:

\(X\left ( \omega \right )=2\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( \omega -k\omega _{0} \right )\)

Adesso se vuoi puoi sostituire nella variabile $f$:

\(X\left ( f \right )=\frac{1}{\pi }\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{k^{2}+1}\delta \left ( f -kf_{0} \right )\)

[enna]

Come al solito Grazie Grazie Grazie !!! sbagliavo a considerare a, io la consideravo uguale a $ 2 \pi $ dimenticandomi il $ \frac{1}{T_0} $ , che le pensavo avesse una trasformata ‘a parte’ rispetto a quella notevole citata (e in più lo ignoravo proprio nel mio procedimento :/ ). Inoltre a un certo punto ho mescolato w e $ w_0 $