Potenza media segnale periodico

[enna]

Dovevo risolvere un esercizio che , dati $ x(t) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } rect ( \frac{ t - nT_0 }{ \frac{T_0}{2} } ) $ e $ y(t) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } tri ( frac { 2(t- nT_0 ) }{T_0 } ) $ mi chiedeva di trovare $ P_x (f) , P_y(f) , P_x e P_y $ io ho trovato che
$ P_y(f) = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{4} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x(f) = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} ( sinc ( \frac {k}{2} ) )^{2} \delta (f- kf_0 ) $
$ P_x = \sum_{-\infty} ^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac { ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{2} }{ { \frac{k \pi }{2} }^{2}} $
$ P_y = \sum_{-\infty}^{+ \infty } \frac{1}{4} \frac{ ( sen ( \frac {\pi k}{2} ) )^{4}}{{\frac{k \pi }{2} }^{4} } $

I risultati sono gli stessi ottenuti dal libro ma per trovare le potenze medie utilizza poi il ‘ problema di Basilea ‘ e qui mi sono persa. Partendo dal fatto che non sapevo sinceramente cosa fosse , e non avendone trovato traccia sul mio libro , ho cercato su diversi siti. Posto qui la soluzione Perché non riesco a capire come è passato dalla formula della potenza media che ho ottenuto anche io ai due passaggi successivi , $ \frac {1}{4} + 2 $ e il passaggio con sommatoria k dispari. Avendo quelli e sapendo che $ \frac{1}{k^{2} } = \frac{ \pi^{2} } {6} $ allora i calcoli mi tornano e ottengo la sua stessa potenza media ma ho un buco nero sulla teoria applicata in quei due passaggi

[giovx24]

caspita che calcoli brutti, si poteva calcolare banalmente nel dominio del tempo. comunque:
prendiamo in considerazione la prima riga dell'immagine ovvero il calcolo di $P_x$.
Per $k = 0$ il termine della sommatoria vale $1/4$ (vedi come è definita la funzione $sinc(x)$), e questo $1/4$ te lo ritrovi dopo l'uguale.
Per $k$ pari il seno vale $0$, quindi lavoriamo solo con $k$ dispari.
Essendo che ci sono dei quadrati possiamo far partire la sommatoria da $1$ invece che da $-infty$ mettendo un due a moltiplicare fuori dalla sommatoria.
E questo è il primo passaggio.
Dopodichè, il problema di basilea è risolto per tutti i $k$ ma noi abbiamo solo una sommatoria per $k$ dispari, allora che facciamo? riscriaviamo la sommatoria come differenza di due sommatorie, ovvero, calcoliamo la somma per tutti i $k$ e poi, sottraiamo tutti i $k$ pari.
Ciao!

[enna]

Grazie mille !!! Scusa il ritardo con cui rispondo ! In generale ho capito decisamente meglio però ho ancora una domanda .. non riesco a capire bene la ragione di quel 2 fuori dalla sommatoria. Se k=1 io ottengo $ \frac{1}{4} \frac{1}{ \frac{ \pi ^{2} }{4} } $

[giovx24]

inizialmente la somamtoria è da $-infty$ a $+infty$, dopo la scrive da $1$ a $+infty$ ma per fare ciò deve mettere un due davanti la sommatoria e in più deve sommare $1/4$