Uscita e stato

Messaggioda cavallipurosangue » 11/11/2007, 01:44

Se ho un sistema LTITC non strettamente causale, come faccio a trovare la derivata dell'uscita?

La matrice A è in forma compagna inferiore, la B $[(0),(1)]$, mentre ho problemi con la C...

Infatti per l'uscita sarebbe:

$C=[b_0-b_na_0,b_1-b_na_1,b_2-b_na_2,...,b_(n-1)-b_na_(n-1)]$ , $D=[b_n]$.

Da cui:

$y=Cz+Du$

Visto che $y=sum_{j=0}^nb_jD^((j))z(t)$, dove $z(t)$ è la soluzione dell'equazione ausiliaria avente come uscita solo la derivata prima dell'ingresso u.

Ma allora: $D^((p))y=D^((p))(sum_{j=0}^nb_jD^((j))z(t))=sum_{j=0}^nb_jD^((j+p))z(t)$

Però il punto è...: il vettore che uscirebbe così, avrebbe $n+p>n$ righe. Spero di esser stato chiaro... dove sbaglio? :roll:
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Messaggioda Kroldar » 11/11/2007, 02:16

Sinceramente non capisco del tutto la simbologia da te usata. Ma a parte questo non capisco neanche quale sia il problema da te esposto. Perché vorresti calcolare la derivata dell'uscita?
Poi non capisco il fatto della non causalità: se di un sistema LTI hai le 4 matrici (quelle che tu chiami $A$, $B$, $C$, $D$) ne hai una descrizione ingresso-stato-uscita che ti permette di calcolare l'uscita a prescindere dal fatto che il sistema sia causale o meno. Se il sistema non è causale, avrai una funzione di trasferimento (o una matrice di trasferimento per il caso di sistemi multi-input o multi-output) col grado del numeratore maggiore di quello del denominatore, ma concettualmente non cambia nulla.
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Messaggioda cavallipurosangue » 11/11/2007, 02:23

Per esempio perchè quella derivata potrebbe essere la velocità...

Comunque un'esempio:

$mddoty+c\doty+ky=-mddotu$

Come faresti a metterlo in forma di stato e trovare poi y?

Ci sta che sia un problema banale, ma ho cominciato da poco... :D
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Messaggioda Kroldar » 11/11/2007, 02:28

cavallipurosangue ha scritto:Per esempio perchè quella derivata potrebbe essere la velocità...

Comunque un'esempio:

$mddoty+c\doty+ky=-mddotu$

Come faresti a metterlo in forma di stato e trovare poi y?


Applicherei la trasformazione di Laplace ad entrambi i membri, isolerei $Y$ a primo membro e antitrasformerei il tutto.

Avrai un'espressione del tipo

$Y(s) = H(s) * U(s)$

dove $Y(s)$ è la Laplace-trasformata di $y$ e $U(s)$ è la Laplace-trasformata di $u$.

A questo punto, essendo nota $H(s)$ è facile avere una rappresentazione ingresso-stato-uscita.

In ogni caso, comunque, per trovare l'uscita non è necessaria una rappresentazione i-s-u ma basta antitrasformare.
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Messaggioda cavallipurosangue » 11/11/2007, 02:33

Ah, non ci sono ancora arrivato a questo punto, per adesso, oltre alla parte generale ho fatto solo l'analisi modale, tra poco farò anche la riposta forzata... :D
Di solito se l'ingresso compare con ordine 0 allora è semplice, perchè la derivata dell'uscita è semplicemente la seconda componente del vettore di stato... mentre quando entrano in ballo le derivate e si usa la forma canonica... beh non è tutto così facile, almeno mi sembra...
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Messaggioda Kroldar » 11/11/2007, 02:40

Mi spiace, non so dirti. Lo studio dei sistemi LTI a tempo continuo l'ho trattato nel dominio di Laplace sostanzialmente e i problemi esposti da te mi sembrano abbastanza semplici da superare in tale contesto. Magari al corso che stai seguendo tu si usa un approccio diverso e quindi si incontrano problematiche differenti.
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Messaggioda cavallipurosangue » 11/11/2007, 02:44

Tranquillo, mi hai aiutato comunque... Qulcuno ha altre info? :D
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