Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi tempo continui.
Se ho capito un sistema tempo continuo ha t reale e in linea generale ha questo aspetto:
$(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
$y(t)=Cx(t)+Du(t)$
con eventuale condizione iniziale $X(0)=x_0$
la soluzione della prima equazione esiste ed è unica
$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$, $(0,t)$ sono estremi di integrazione che non ho capito come si mettono con math ancora per il momento. Questa si compone di una risposta libera $e^(At)x(0)$ e di una forzata $int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$ e questa nient'altro è che la formula di Lagrange giusto?
e analogamente esiste una soluzione per
$y(t)=Ce^(At)x(0)+Cint_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon+Du(t)$
giusto? Anche questa è una formula di lagrange?
Ora però voglio dimostrare che ciò che ho scritto è corretto....
$e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo
$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
ora se non mi sbaglio quì posso utilizzare la serie di taylor per $e^At$ dunque fino all'integrale penso che la mia dimostrazione sia corretta.
I problemi mi giungono quando provo a risolvere quell'integrale, ho pensato di risolverlo per parti...ma come devo fare con quell'$u(epsilon)$
Pensavo di consideralo come una semplice x, in modo che la sua derivata risultasse 1 invece non mi trovo....come si risolve quell'integrale???? Sarà che è notte però non mi viene!