Sistemi a tempo continuo

Messaggioda Ahi » 13/11/2007, 23:44

Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi tempo continui.
Se ho capito un sistema tempo continuo ha t reale e in linea generale ha questo aspetto:

$(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

con eventuale condizione iniziale $X(0)=x_0$

la soluzione della prima equazione esiste ed è unica

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$, $(0,t)$ sono estremi di integrazione che non ho capito come si mettono con math ancora per il momento. Questa si compone di una risposta libera $e^(At)x(0)$ e di una forzata $int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$ e questa nient'altro è che la formula di Lagrange giusto?

e analogamente esiste una soluzione per

$y(t)=Ce^(At)x(0)+Cint_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon+Du(t)$

giusto? Anche questa è una formula di lagrange?

Ora però voglio dimostrare che ciò che ho scritto è corretto....

$e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ora se non mi sbaglio quì posso utilizzare la serie di taylor per $e^At$ dunque fino all'integrale penso che la mia dimostrazione sia corretta.
I problemi mi giungono quando provo a risolvere quell'integrale, ho pensato di risolverlo per parti...ma come devo fare con quell'$u(epsilon)$

Pensavo di consideralo come una semplice x, in modo che la sua derivata risultasse 1 invece non mi trovo....come si risolve quell'integrale???? Sarà che è notte però non mi viene!
Ultima modifica di Ahi il 14/11/2007, 22:00, modificato 4 volte in totale.
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Re: Sistemi a tempo continuo

Messaggioda Kroldar » 14/11/2007, 18:33

Ahi ha scritto:Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi tempo continui.
Se ho capito un sistema tempo continuo ha t reale e in linea generale ha questo aspetto:

$(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

Questa è la forma generale di un sistema tempo continuo lineare e stazionario.
Se non assumi la linearità e la stazionarietà, la derivata dello stato e l'uscita saranno funzioni generiche (non lineari) dello stato e dell'ingresso e saranno e avranno inoltre una dipendenza diretta dal tempo.


Ahi ha scritto:Ora però voglio dimostrare che ciò che ho scritto è corretto....dunque deve essere vera questa disuguaglianza

$e^(At)x(0)+int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ora se non mi sbaglio quì posso utilizzare la serie di taylor per $e^At$ dunque fino all'integrale penso che la mia dimostrazione sia corretta.
I problemi mi giungono quando provo a risolvere quell'integrale, ho pensato di risolverlo per parti...ma come devo fare con quell'$u(epsilon)$

Per dimostrare quella scrittura devi avere preliminarmente definito l'operazione $e^(At)$, ovvero un numero reale con una matrice all'esponente. Nel corso che ho seguito io si procedeva diversamente: col metodo delle approssimazioni successive si giungeva a una serie che si dimostrava essere convergente e la cui somma era simbolicamente identificata con $e^(At)$.
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Messaggioda Ahi » 14/11/2007, 22:12

Allora io spero di avere un intuizione giusta quindi cerco di completare la dimostrazione

$e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

Mi stavo un po' scoraggiando quì, ma ragionando come posso riscrivere quell'esponenziale? Mi è venuta la serie di Taylor

$e^(At)=I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...$

dunque sostituendo si ha:

$(dx)/(dt)=(d)/(dt)[I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ma io quella deriva la so fare! Dunque:

$(dx)/(dt)=[A+(A^2t)/(2!)+((A^3)t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

Ma se metto A in evidenza cosa ho:

$(dx)/(dt)=A[I+At+((A^2)t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

e dunque:

$(dx)/(dt)=Ae^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

e infine

$(dx)/(dt)=Ax(t)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

dunque quell'integrale mi deve dare $Bu(t)$ sono sicuro, ma non mi viene in mente una soluzione per qull'integrale!!
Ultima modifica di Ahi il 14/11/2007, 22:21, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda raff5184 » 14/11/2007, 22:20

Ahi ha scritto:Mi stavo un po' scoraggiando quì, ma ragionando come posso riscrivere quell'esponenziale? Mi è venuta la serie di Taylor

$e^(At)=I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...$


Sicuro di poterlo fare? $ e^A$ non è come $e^a$. Né $e^A= e^(a_(11)); e^(a_(12))...$
"In ingegneria ci sta un teorema che dice che in un sistema quanta più roba ci metti più facilmente si scassa" A.C.
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Messaggioda Ahi » 14/11/2007, 22:30

Si, se conosci gli appunti di Beumperd se scrive così, e vedi si può scrivere l'esponenziale in quel modo, e ho avuto la verifica anche su libro, peccato se riuscissi a risolere quell'integrale sarebbe una gran cosa! :)
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Messaggioda cavallipurosangue » 14/11/2007, 22:32

L'ultimo passaggio non mi è chiaro, cmq...

$dotx=Ax+Bu$

$x=e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau$, da cui

$dotx=Ae^(At)+d/(dt)int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau=Ae^(At)+Ae^(At)int_0^te^(-Atau)Bud\tau+e^(At)e^(-A\tau)Bu=A(e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau)+e^0Bu=Ax+Bu$
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Messaggioda Ahi » 14/11/2007, 22:44

GRAZIE però...


cavallipurosangue ha scritto:L'ultimo passaggio non mi è chiaro, cmq...

$dotx=Ax+Bu$

$x=e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau$, da cui

$dotx=Ae^(At)+d/(dt)int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau=Ae^(At)+Ae^(At)int_0^te^(-Atau)Bud\tau+e^(At)e^(-A\tau)Bu=A(e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau)+e^0Bu=Ax+Bu$


Non ho capito come fai a risolvere l'integrale, perché ti esce l'integrale di una certa quantità + un altro qualcosa? Stai facendo la derivata di un prodotto?
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Messaggioda cavallipurosangue » 14/11/2007, 22:45

Si ho portato fuori dall'integrale e^(At), visto che nell'integrazione rispetto a $tau$ è costante...
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Messaggioda Ahi » 14/11/2007, 22:50

Un discorso analogo, credo con le sommatorie, si può fare per i discreti.
Visto che mi trovo. Ma questo mi ha portanto alla soluzione della mia eq differenziale?
Sì? Cosa mi si può contestare su questa dimostrazione?
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Messaggioda cavallipurosangue » 14/11/2007, 22:55

In che senso cosa si può contestare...? Se è giusta è giusta...
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