[RISOLTO] circuito da risolvere con metodo Nodi

Messaggioda hastings » 18/11/2007, 13:30

Il circuito si trova al seguente indirizzo:
http://www.flickr.com/photos/20995287@N07/

Voglio risolverlo con il metodo nodi. (SO CHE CON IL METODO MAGLIE VIENE SUBITO)

1)Ho preso come nodo di riferimento il nodo 4 (collegato a terra).
Questi sn i dati
$R_1=1/2; \ \ R_3=1; \ \ R_4=1/3; \ \ R_5=1; \ \ V_{g2}=2; \ \ V_{g6}=1 $

I generatori di tensione sono indip.
Le incognite sono le correnti e le tensioni di ciascun ramo, in particolare m'interessano $i_{x2}, \ \ i_{x6}$ .

2) ho chiamato gli altri nodi $e_1, \ \ e_2, \ \ e_3, \ \ e_5 $.
3) $e_3=V_{g6}$ perchè coincide con il morsetto positivo del generatore $V_{g6}$
4) $e_2-e_1=V_{g2}$ per la presenza, in quel ramo, del generatore V_g2.
5) Scrivo il seguente sistema: 5 eqz nelle 5 incognite $e_1, \ \ e_2, \ \ e_5, \ \ i_{x2}, \ \ i_{x6}$
$ [[G_1e_1 =-i_{x2}],[(G_4+G_5)e_2 -G_3e_5 - G_4e_3= i_{x2} ],[-G_4e_2+G_4e_3=i_{x6}],[(G_1+G_3+G-5)e_5 -G_3e_2-G_1e_1=0],[e_2-e_1=2]]. $
6) Sostituendo i valori noti ottengo
$[[e_2-e_1=2],[2e_1=-i_{x2}],[4e_2-e_5-3=i_{x2}],[-3e_2+3=i_{x6}],[4e_5-e2-2e_1=0]] $

Purtroppo andando a risolvere ottengo $i_{x2}=12/7$ invece di 22/15
Ultima modifica di hastings il 18/11/2007, 17:59, modificato 1 volta in totale.
hastings
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Messaggioda elgiovo » 18/11/2007, 14:17

La scelta migliore per il riferimento è senz'altro il nodo 5, perchè è collegato direttamente a tutti i generatori indipendenti.
Ribattezzo il nodo 2 come $A$. La tensione tra il riferimento e $A$ sia $v_A$. Per trovare $v_A$ esistono due procedimenti.

1) Applicare la legge dei nodi (LKC) al nodo $A$: si ottiene

$(v_A-V_2)/R_1+v_A/R_3+(v_A-V_6)/(R_4+R_5)=0$,

da cui $v_A=19/15V$.

2) Applicare al circuito binodale l'elegante teorema di Milman, da cui

$v_A=(sum_k G_k E_k)/(sum_k G_k)=(V_2/R_1+V_6/(R_4+R_5))/(1/R_1+1/R_3+1/(R_4+R_5))=19/15V$.

Trovata $v_A$, i giochi sono fatti. Ad esempio, la corrente $i_(x2)=(V_2-v_A)/R_1=22/15A$,
mentre $i_(x6)=(V_6-v_A)/(R_4+R_5)=-1/5A$.
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Messaggioda hastings » 18/11/2007, 17:56

l'ho risolto, ma nn come dici tu anche perchè il teor di Milman non l'abbiamo neanche studiato e nn è pervisto nel corso.
però non mi pare che il nodo 5 sia connesso direttamente ai 2 generatori indip di tensione.
io facevo l'errore di aggiungere un'eqz per il nodo 3 ritrovandomi $i_{x6}$ come incognita in più.

ho riscritto le eqz di eqilibrio ai nodi (LKC) in questo modo
(nodo 1) $ (e_1-e_5)G_1+i_{x2}=0$
(nodo 2) $ (e_2-e_3)G_4+(e_2-e_5)G_3-i_{x2}=0$
(nodo 3) $ e_3=V_{g6}$
(nodo 5) $ (e_5-0)G_5+(e_5-e_2)G_3+(e_5-e_1)G_1=0$
(eqz vincolo) $ e_1-e_2=-V_{g2}$

ho sostituito i valori noti tenendo presente che $G_i=1/R_i$.
Ho risolto nelle incognite $e_1, \ e_2, \ e_3, \ e_5, \i_{x2}$
Così ho trovato $i_{x2}=22/15$ che è il risultato corretto da cui poi ho ricavato tutto il resto.
Grazie cmq per il tuo aiuto.
hastings
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Messaggioda elgiovo » 18/11/2007, 18:18

Immaginavo che non conoscessi il teorema, infatti l'ho presentato come metodo alternativo.
Quanto ai generatori, se sono in serie con una o più resistenze puoi spostarli prima, dopo, in
mezzo a queste, perchè non cambia nulla in termini di legge della maglia (LKT).
In genere con circuiti come questo conviene trovare la tensione $v_A$ perchè come vedi
permette di risparmiare la risoluzione di sistemi lineari chilometrici in cui è facile sbagliare.
Ciao.
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