cavallipurosangue ha scritto:Se ho una uscita $y(t)$ ed una certa funzione di trasferimento $G(s)$ con grado relativo $r$, come si dimostra che la $y^((r))(0)$ è la prima derivata non nulla?
Devi applicare appunto il teorema del valore iniziale.
Sia dunque $G(s)$ una funzione razionale fratta. Per il vincolo di causalità, il grado del denominatore sarà maggiore (tutt'al più uguale) di quello del numeratore.
Ipotizziamo che l'eccesso poli-zeri sia pari a $r$.
La trasformata di Laplace dell'uscita è $Y(s) = (G(s))/s$.
Applicando il teorema del valore iniziale, risulta
$y(0) = lim_(s to +oo) sY(s) = lim_(s to +oo) s (G(s))/s = lim_(s to +oo) G(s)$
Ovviamente quel limite fa $0$ poiché il grado del denominatore è per ipotesi maggiore di quello del denominatore.
Calcoliamo ora la derivata prima nell'origine, risulta
$y'(0) = lim_(s to +oo) s [sY(s)-y(0)] = lim_(s to +oo) s^2 (G(s))/s = lim_(s to +oo) sG(s)$
Per $r>1$ anche quest'altro limite farò $0$.
In generale, iterando il procedimento, si avrà che
$y^((k))(0) = 0$ per $k<r$
Per $k=r$ si avrà il limite di una funzione razionale fratta con grado del numeratore pari a quello del denominatore e allora sarà $y^((r))(0) != 0$.
Per le derivata successive, continua ad applicare il teorema del valore iniziale