Energia segnale.

[Ahi]

Che il segnale abbia energia finita è stato già dimostrato...

risulta $x(t) <= e^(-|t|) AA t in RR$. Segue che $x(t)$ ha energia finita.

Se vuoi anche il valore preciso, basta continuare i conti che ho avviato nel post precedente.

Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???

[Kroldar]

Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???

Il tuo procedimento non è scorretto, però purtoppo richiederebbe un tempo di calcolo infinito. Non puoi calcolare a mano ogni singolo integrale e poi sommare tutti gli infiniti numeri trovati... una vita intera non ti basterebbe!
Non è altresì corretto calcolare solo una parte dell'energia del segnale limitandosi a tre soli contributi.
L'energia va calcolata tutta e, possibilmente, in un tempo ragionevole.

[Ahi]

Ma scusa in precedenza mi hai detto che non andava bene...io ho continuato i conti in quel modo...perché non è corretto così? Considerando il pezzo centrale e i due adiacenti???

Il tuo procedimento non è scorretto, però purtoppo richiederebbe un tempo di calcolo infinito. Non puoi calcolare a mano ogni singolo integrale e poi sommare tutti gli infiniti numeri trovati... una vita intera non ti basterebbe!
Non è altresì corretto calcolare solo una parte dell'energia del segnale limitandosi a tre soli contributi.
L'energia va calcolata tutta e, possibilmente, in un tempo ragionevole.

Vediamo se così può andare:


$E_x=int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) Sigma_{n=-oo}^{+oo} pi[2(t-3n)] dt$

effettuando il famoso passaggio "pericoloso"

$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$

$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt$

risolvendo l'integrale:

$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} (1 - e^(-1/2)) = Sigma_{n=-oo}^{+oo} 0.4$

Così può andare?

[Kroldar]

C'è un errore nel seguente passaggio:

$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$

$E_x=Sigma_{n=-oo}^{+oo} int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt$

La funzione $pi[2(t-3n)]$ vale $1$ per $3n-1/4 < t < 3n+1/4$ (estremi inclusi o esclusi non cambia nulla) e $0$ altrove, dunque l'integrale

$int_{-oo}^{+oo} e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt$

diventa

$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$

Cosa importante da sottolineare è che nel risultato di tale integrale ci sarà una dipendenza da $n$, che scomparirà solo a seguito del calcolo della sommatoria.

[Ahi]

Purtroppo cominciano i problemi, ho risolto così:

$Sigma_{n=-oo}^{+oo} [int_{3n-1/4}^{0} e^(2t) dt + int_{0}^{3n-1/4} e^(-2t) dt]$

risolvendo si ha:

$Sigma_{n=-oo}^{+oo} 1/2 - (e^(6n-1/2))/2 - (e^(-6n-1/2))/2 $

Ma quella sommatoria è proprio uguale a infinito!! Dove sbaglio?

[raff5184]

se, come spesso accade in questi casi, si chiude un occhio

maledetti ingegneri

Per fortuna ci siete voi matematici a non farci arronzare troppo:
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... +integrale

[Kroldar]

Vediamo di dare una sistemata alle cose...

Abbiamo detto che

$E_x = sum_(n=-oo)^(+oo) int_(-oo)^(+oo) e^(-2|t|) pi[2(t-3n)] dt = sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt$

Se estraiamo l'integrale per $n=0$ e consideriamo solo il caso di $n>0$, otteniamo

$sum_(n=-oo)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2|t|) dt = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt$

dove nel secondo integrale a secondo membro è stato tolto il modulo in quanto per $n>0$ risulta sicuramente $t>0$.

Calcoliamo ora

$int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt = 1 - e^(-1/2)$

e calcoliamo inoltre

$int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = e^(-6n) * (e^(1/2) - e^(-1/2))/2$

In definitiva, dunque, risulta

$E_x = int_{-1/4}^{+1/4} e^(-2|t|) dt + 2 * sum_(n=1)^(+oo) int_{3n-1/4}^{3n+1/4} e^(-2t) dt = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n)$

Inoltre non è difficile mostrare che

$sum_(n=1)^(+oo) e^(-6n) = 1/(e^6-1)$

da cui segue che

$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^6-1)$

che con qualche manipolazione può essere scritta come

$E_x = 1 - e^(-1/2) + (e^(1/2) - e^(-1/2)) * 1/(e^2-1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2) * (e - 1)/(e^6 - 1) = 1 - e^(-1/2) + e^(-1/2)/(e^5 + e^4 + e^3 + e^2 + e + 1)$

Data la mole di conti, mi sia concessa un'eventuale distrazione... la cosa importante tuttavia è aver capito il procedimento da seguire.

[Feynman84]

Ma considerando il valore assoluto nell'esponenziale, non dovrebbe andare da 0 a $+inf$ l'integrale? E poi perchè c'è quel 2 sull'esponenziale ?

[Feynman84]

Quella cosa che non si capisce dovrebbe essere + infinito.

[raff5184]

Ma considerando il valore assoluto nell'esponenziale, non dovrebbe andare da 0 a $+inf$ l'integrale? E poi perchè c'è quel 2 sull'esponenziale ?

+ infinito si scrive + oo tra \$

c'è il quadrato perché $E=int_(-oo)^(+oo)|x(t)|^2$dt$