Dimostrazione simmetria matrice di rigidezza
Inviato: 23/02/2009, 23:34Eccomi dopo un'erronea cancellazione dalle registrazioni di forum 
Dopo essere arrivati a:
${sigma}=[K]{epsilon}$
con ovvio significato dei simboli e $[K]$ matrice 6x6, si è passati a dimostrare che i termini indipendenti non sono 6x6=36, ma la matrice è simmetrica ed i termini sono quindi 21.
Il testo che uso, scrive semplicemente che si considera l'esistenza della densità d'energia potenziale di deformazione (immagino per unità di volume, e non di massa):
$W=1/2 K_(ij) epsilon_i epsilon_j$
derivando rispetto a $epsilon_i$
$sigma_i=(dW)/(d epsilon_i)=K_(ij)epsilon_j$
(non so come si fa la derivata parziale)
e derivando ora rispetto ad $epsilon_j$
$d/(d epsilon_j) ((dW)/(d epsilon_i))=K_(ij)$
derivando in ordine opposto:
$d/(d epsilon_i) ((dW)/(d epsilon_j))=K_(ji)$
e per il fatto che le derivate miste non dipendono dall'ordine di derivazione, si dimostra la simmetria.
Il mio problema è che non capisco dove finisca il $1/2$ tra i primi 2 passaggi. Ipotizzando che il tutto fosse stato scritto secondo la notazione abbreviata della matrici, ho ipotizzato che fosse (per una 3x3 per semplificare):
$W=1/2 K_(ij) epsilon_i epsilon_j=1/2K_(11)epsilon_1epsilon_1+1/2K_(12)epsilon_1epsilon_2+1/2K_(13)epsilon_1epsilon_3+1/2K_(21)epsilon_2epsilon_1+1/2K_(22)epsilon_2epsilon_2+1/2K_(23)epsilon_2epsilon_3+1/2K_(31)epsilon_3epsilon_1+1/2K_(32)epsilon_3epsilon_2+1/2K_(33)epsilon_3epsilon_3$
che derivato rispetto per esempio ad $epsilon_1$:
$(dW)/(d epsilon_1)=K_(11)epsilon_1+1/2K_(12)epsilon_2+1/2K_(13)epsilon_3+1/2K_(21)epsilon_2+1/2K_(31)epsilon_3$
e che deve essere uguale a $K_(ij)epsilon_j$..............ma questo significherebbe che la simmetria è presa in ipotesi per poter continuare la dimostrazione della simmetria stessa.
Allora ho pensato che il mio problema fosse una errata interpretazione della forma matriciale abbreviata! Ma nessuno ha saputo aiutarmi dei miei compagni di corso...prima di rivolgermi al prof. volevo chiedere a voi se sapete la risposta...
Grazie dell'attenzione prestatami...
Dopo essere arrivati a:
${sigma}=[K]{epsilon}$
con ovvio significato dei simboli e $[K]$ matrice 6x6, si è passati a dimostrare che i termini indipendenti non sono 6x6=36, ma la matrice è simmetrica ed i termini sono quindi 21.
Il testo che uso, scrive semplicemente che si considera l'esistenza della densità d'energia potenziale di deformazione (immagino per unità di volume, e non di massa):
$W=1/2 K_(ij) epsilon_i epsilon_j$
derivando rispetto a $epsilon_i$
$sigma_i=(dW)/(d epsilon_i)=K_(ij)epsilon_j$
(non so come si fa la derivata parziale)
e derivando ora rispetto ad $epsilon_j$
$d/(d epsilon_j) ((dW)/(d epsilon_i))=K_(ij)$
derivando in ordine opposto:
$d/(d epsilon_i) ((dW)/(d epsilon_j))=K_(ji)$
e per il fatto che le derivate miste non dipendono dall'ordine di derivazione, si dimostra la simmetria.
Il mio problema è che non capisco dove finisca il $1/2$ tra i primi 2 passaggi. Ipotizzando che il tutto fosse stato scritto secondo la notazione abbreviata della matrici, ho ipotizzato che fosse (per una 3x3 per semplificare):
$W=1/2 K_(ij) epsilon_i epsilon_j=1/2K_(11)epsilon_1epsilon_1+1/2K_(12)epsilon_1epsilon_2+1/2K_(13)epsilon_1epsilon_3+1/2K_(21)epsilon_2epsilon_1+1/2K_(22)epsilon_2epsilon_2+1/2K_(23)epsilon_2epsilon_3+1/2K_(31)epsilon_3epsilon_1+1/2K_(32)epsilon_3epsilon_2+1/2K_(33)epsilon_3epsilon_3$
che derivato rispetto per esempio ad $epsilon_1$:
$(dW)/(d epsilon_1)=K_(11)epsilon_1+1/2K_(12)epsilon_2+1/2K_(13)epsilon_3+1/2K_(21)epsilon_2+1/2K_(31)epsilon_3$
e che deve essere uguale a $K_(ij)epsilon_j$..............ma questo significherebbe che la simmetria è presa in ipotesi per poter continuare la dimostrazione della simmetria stessa.
Allora ho pensato che il mio problema fosse una errata interpretazione della forma matriciale abbreviata! Ma nessuno ha saputo aiutarmi dei miei compagni di corso...prima di rivolgermi al prof. volevo chiedere a voi se sapete la risposta...
Grazie dell'attenzione prestatami...
...aggiorno appena ho tempo di verificare...