Teoria dei segnali + Integrale alla Lebesgue

Messaggioda Lauke » 08/03/2009, 14:12

Salve ragazzi, ho iniziato da una settimana il corso di teoria dei segnali (ingegneria informatica palermo). A quanto ho capito in questa materia l'integrale di Reinmann ha poca utilità, si utilizza invece l'integrale alla Lebesgue, una cosa che non sono riuscito a trovare da nessuna parte è come si può utilizzare questo integrale cioè materialmente come ci si muove? i miei problemi sono 2

1. Il discorso della primitiva, se serve perchè da quel poco di teoria che ho fatto non ho capito nemmeno questo, se serve si calcola con gli usuali metodi?
2. Teorema fondamentale del calcolo integrale, suppongo qui non valga o non serva o simili.

Vi spiego, l'integrale alla lebesgue l'ha fatto il mio professore di teoria dei segnali, in realtà ha dato la definizione in sostanza facendoci costruire somme inferiori e superiori e facendoci individuare la classe di Borel per la misura di Lebesgue ma ora tutto ciò come si applica nella pratica? cioè se io ho una funzione da integrare come devo comportarmi? di cosa devo avvalermi?

Se qualkuno che ne so mi postasse qualke esempio, pure stupido (non dello stile funzione di diriclet però...qualkosa di piu pratico tipo una funzione razionale, ma pure un polinomio va...) e mi fa vedere la tecnica dicendomi a quali concetti ci si deve aggrappare così me li vado a studiare.
Grazie anticipatamente
Lauke
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Messaggioda gugo82 » 19/03/2009, 22:05

Se hai una funzione continua con un numero finito di discontinuità, allora l'integrale di Lebesgue coincide con l'integrale di Riemann: quindi i metodi di calcolo che hai imparato per l'uno valgono pure per l'altro.

Di solito si usa l'integrale di Lebesgue perchè è molto più facile passare al limite sotto il segno d'integrale.
Infatti, laddove il tipico teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale di Riemann richiede convergenza uniforme (ed anche altre schifezze molto restrittive, se gli integrali sono impropri), il tipico teorema di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue, ossia il Teorema di Convergenza Dominata, richiede convergenza quasi ovunque ed una semplice maggiorazione... Molto meglio, no?

Ad ogni modo, un po' di teoria sull'integrale di Lebesgue la trovi sul Giusti, Analisi II (edizione per i vecchi ordinamenti).
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