Matematicamente.it

Ciao a tutti

Considerando processi aleatori WSS, ho un dubbio riguardo la densità spettrale di potenza:
sul mio libro c'è scritto che $\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = M_x$ dove $M_x$ = potenza statistica.
la PSD è: $P_x(f) = int_{-infty}^{+infty} r_x(tau)e^(-j2piftau) d tau$, cioè la trasformata di Fourier della correlazione linere;

Il mio dubbio è il seguente:
il risultato del primo integrale è uguale alla potenza statistica solo se valuto la PSD (TdF della correlazione) in 0 oppure no?

Grazie

Casomai la potenza è uguale alla correlazione valutata in 0. Infatti

$M_x=int_RR P_x(f)"d"f=[int_RR P_x(f) e^(j 2 pi f tau)"d"f]_(tau =0)=[r_x(tau)]_(tau =0)=r_x(0)$.

si ok, però se scrivo in questo modo:

$\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = \int_{-infty}^{+infty} (int_{-infty}^{+infty} r_x(\tau)e^(-j2pif\tau)\d tau)df
e ponendo in quest'ultima $tau = 0$ ottengo $M_x$
ora però, se al posto di $tau = 0$ pongo per esempio $tau = 5$, $\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df$ è uguale ancora a $M_x$?
In pratica con quest'ultimo modo è come se valutassi la trasformata di Fourier non più nell'origine...

nico88desmo ha scritto:$\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = \int_{-infty}^{+infty} (int_{-infty}^{+infty} r_x(\tau)e^(-j2pif\tau)\d tau)df
e ponendo in quest'ultima $tau = 0$...

Non puoi porre $tau=0$, in quanto $tau$ è variabile di integrazione. Inoltre non ho capito dove vuoi arrivare con quel $tau=5$. Ad ogni modo, $r_x(5)$ non è certo la potenza del processo (lo sarebbe solo se il processo fosse ciclostazionario e quindi $r_x(tau)$ fosse periodica di periodo $5$).

Si, ho sbagliato a scrivere...in effetti non ha senso del $tau = 0$
Cerco di spiegarmi meglio, dunque
$P = int_{-infty}^{infty} r_x(tau)e^(-j2pif tau) d tau$
che è appunto la tdf della correlazione. Da questo punto, come faccio a dire che $int_{-infty}^{+infty} P(f) df = r_x(0) = M_x$?
perchè io ho provato a valutare la trasformata in 0 e l'integrale diverrebbe
$int_{-infty}^{infty} r_x(tau)e^(-j2pi0 tau) d tau = int_{-infty}^{infty} r_x(tau) d tau$
ma da questo punto non traggo molte conclusioni...

Se invece ragiono all'incontrario, cioè rappresento $r(x) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif tau)df $, allora ci sono.

nico88desmo ha scritto:Se invece ragiono all'incontrario, cioè rappresento $r(x) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif tau)df $, allora ci sono.

Questo è corretto (ed è quello che ti ho già fatto vedere).

$r(0) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif 0)"d"f = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) "d"f=M_x$.

Ma non c'è un modo per dimostrare questo partendo dalla trasformata anzichè dall'antitrasformata?

nico88desmo ha scritto:Ma non c'è un modo per dimostrare questo partendo dalla trasformata anzichè dall'antitrasformata?

Secondo me ti stai ingarbugliando inutilmente. $M_x$ è uguale a $r_x(0)$. Punto. Per mostrarlo si usa la trasformata di Fourier. O l'antitrasformata, a seconda di come la definisci. Forse non lo sai, ma esistono definizioni di trasformata diverse da quella usata in ambito ingegneristico. Vedi questa:

$F(omega)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(i omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(-i omega t) F(omega)"d"t$.

In generale, puoi far variare i parametri $a$ e $b$ nell'espressione

$F(omega)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1-a))) int_RR e^(i b omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1+a))) int_RR e^(-i b omega t) F(omega)"d"omega$.

elgiovo ha scritto:$F(omega)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(i omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(-i omega t) F(omega)"d"t$.

Questo non lo sapevo in effetti...da cosa è dovuta questa flessibilità??? Purtroppo in ingegneria non si approfondiscono questi aspetti;
Mi sapresti dare qualche link utile riguardo questo argomento? Sono piuttosto curioso.

Grazie per la disponibilità