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Ciao a tutti,
posto il seguente esercizio di cui mi è poco chiaro l'ultimo passaggio:
calcolare l'area del seguente prdotto:$x(t)=sinc(frac{2t-1}{T})*sinc(frac{3t-2}{2T})$ per $t in RR$
per la risoluzione dell'esercizio si applica Parseval (chiamo $x_1(t)$ e $x_2(t)$ rispettivamente i due sinc sopra citati):
$int_(- infty)^(+infty)x(t)dt=int_(- infty)^(+infty)x_1(t)*\bar x_2(t) dt=int_(- infty)^(+infty)X_1(f)*\bar X_2(f)df$
dove ho indicato con la barra il coniugato e con X la relativa trasformata di Fourier.
$F[x_1(t)]=X_1(f)=T/2rect(fT/2)e^(-j2pif/2)$
$F[x_2(t)]=X_2(f)=2T/3rect(f2T/3)e^(-j2pif2/3)$
e tornando alla formula scritta precedentmente:
$area [x(t)]=2/3T*T/2*int_(-infty)^(+infty)rect(fT/2)e^(-j2pif/2)*rect(f2T/3)e^(-j2pif2/3)df$
e facendo il prodtto tra due rect rimane quello "più stretto" ottenendo così:
$=2/3T*T/2*int_(-infty)^(+infty)rect(f2T/3)*e^(-j2pif/6)df=2T^2/6*3/(2T)*sinc(3/(12T))$
quest'ultimo passaggio (il risultato) non mi è chiaro. Così a occhio mi sembra che abbia considerato la parte prima dell' uguale come l'antitrasformata del sinc che compare nel risultato ma non mi torna assolutamente
Grazie a tutti

minavagante ha scritto:Ciao a tutti,
posto il seguente esercizio di cui mi è poco chiaro l'ultimo passaggio:
calcolare l'area del seguente prdotto:$x(t)=sinc(frac{2t-1}{T})*sinc(frac{3t-2}{2T})$ per $t in RR$
per la risoluzione dell'esercizio si applica Parseval (chiamo $x_1(t)$ e $x_2(t)$ rispettivamente i due sinc sopra citati):
$int_(- infty)^(+infty)x(t)dt=int_(- infty)^(+infty)x_1(t)*\bar x_2(t) dt=int_(- infty)^(+infty)X_1(f)*\bar X_2(f)df$
dove ho indicato con la barra il coniugato e con X la relativa trasformata di Fourier.
$F[x_1(t)]=X_1(f)=T/2rect(fT/2)e^(-j2pif/2)$
$F[x_2(t)]=X_2(f)=2T/3rect(f2T/3)e^(-j2pif2/3)$
e tornando alla formula scritta precedentmente:
$area [x(t)]=2/3T*T/2*int_(-infty)^(+infty)rect(fT/2)e^(-j2pif/2)*rect(f2T/3)e^(-j2pif2/3)df$
e facendo il prodtto tra due rect rimane quello "più stretto" ottenendo così:
$=2/3T*T/2*int_(-infty)^(+infty)rect(f2T/3)*e^(-j2pif/6)df=2T^2/6*3/(2T)*sinc(3/(12T))$
quest'ultimo passaggio (il risultato) non mi è chiaro. Così a occhio mi sembra che abbia considerato la parte prima dell' uguale come l'antitrasformata del sinc che compare nel risultato ma non mi torna assolutamente
Grazie a tutti

$2/3T*T/2*int_(-infty)^(+infty)rect(f2T/3)*e^(-j2pif/6)df$=
$2/3T*T/2*int_{-3/(4T)}^{3/(4T)}e^(-j2pif/6)df$=
$2/3T*T/2*6/(j*2pi)*[-e^(-j2pif/6)]_{-3/(4T)}^{3/(4T)}$=
$2/3T*T/2*6/(j*2pi)*[e^(j*pi/(4T))-e^(-j*pi/(4T))]$=
$2/3T*T/2*6/(pi)*[e^(j*pi/(4T))-e^(-j*pi/(4T))]/(2j)$=
$2/3T*T/2*6/(pi)*sin(pi/(4T))$=
$2/3T*T/2*6/(4T)*sin(pi/(4T))/(pi/(4T))$=
$T/2*sinc(1/(4T))$

chiarissimo grazie mille, bastava svolgere l'integrale