Trasformata di Fourier, Precisazioni, Teorema di convoluzion

Messaggioda Lauke » 30/03/2009, 19:19

Nel precedente post precedente avevo appena iniziato a studiare la trasformata ora con qualke applicazione qua e la ho capito diciamo l'andamento della situazione. Anzitutto vorrei che mi fosse chiarita una cosa

1. Il fatto che noi sappiamo che la trasformata di fourier di una funzione pari o dispari, rimane tale anche nel dominio della frequenza, mi porta qualke vantaggio particolare nel calcolo delle trasformate mediante definizione? per dire il segnale $sum_{n = -infty}^{+infty} (-1)^n/(|n|+1) rect(t-n)$ è una funzione a quadrato sommabile e pari rispetto al suo argomento (aldilà del fatto che la sua trasformata è nota) cioè mi agevola in qualke modo il calcolo della sua trasformata mediante la definizione?

Poi altra cosa, prime applicazioni della convoluzione, diciamo che ho intuito l'idea ma qualkuno può indicarmi come vada calcolata la convoluzione tra questi 2 segnali?

$s_1(t) = rect(t)$ e $s_2(t) = -rect(t)$ (diciamo mi butto sul semplice va..)

io aldilà di alcuni esempi, tra l'altro ancora da comprendere, ho capito che la convoluzione tra generici segnali è piuttosto complicata da calcolare ho visto si e no delle rect e qualke esponenziale in giro. L'idea intuitiva di calcolo e di capire come varia l'area spazzata alla passaggio di una delle due rect sull'altra, solo che nel caso di queste 2 rect (di cui una capovolta) l'area spazzata non c'è in sostanza (badate bene che lo so che la convoluzione alla fine è un integrale, e che quindi se porto il - fuori il problema si risolve). La domanda che mi faccio nell'essenza è: Esiste un modo prettamente analitico, e meno intuitivo quindi di poter calcolare la convoluzione tra segnali? Oppure, diciamo, devo capire la legge del prodotto di convoluzione osservando l'andamento di una funzione sull'altra e quindi avere un pò di "immaginazione"?
Lauke
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 17 di 136
Iscritto il: 09/10/2008, 14:43

Messaggioda Ska » 30/03/2009, 21:07

1. La puoi vedere come requisito necessario per la correttezza del risultato..... se ti aspetti una trasformata pari, ma non la ottieni è probabile che tu abbia sbagliato qualcosa nel calcolo... ai fini del calcolo effettivo non serve a molto.... più che considerare semplificare la parte dispari dell'integranda non si ottiene nulla

2. Sinceramente non so se esiste un metodo prettamente analitico... io di solito procedo disegnando i due segnali e individuando i vari casi di "sovrapposizione", poi integro le opportune funzioni... a volte conviene calcolare la convoluzione utilizzando il teorema relativo della trasformata di fourier, a volte è più veloce farlo nei tempi... un caso particolare è quando hai la convoluzione con una sinusoide.... $A cos(2\pi f_0 t + \phi) \star h(t) = |H(f_0)| A cos(2\pi f_0 t + \phi + \angle H(f_0))$

altre caratteristiche della convoluzione, nel caso di segnali a supporto limitato, la convoluzione avrà come supporto al più la "somma dei supporti", cioè se $x(t): [a,b]->RR$ e $y(t): [c,d]-> RR$ allora $x(t)\star y(t)$ avrà supporto $[a+c, b+d]$
Ska
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 78 di 441
Iscritto il: 22/12/2008, 22:33

Messaggioda Lauke » 30/03/2009, 21:33

più che considerare semplificare la parte dispari dell'integranda non si ottiene nulla


Qualke esempio di semplificazione in tal caso?
Lauke
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 18 di 136
Iscritto il: 09/10/2008, 14:43

Messaggioda Ska » 31/03/2009, 09:47

Intendo... se ho $f(t)$ pari, calcolare la sua trasformata di Fourier vuol dire $\int_RR f(t) e^{-j2\pi ft} dt = \int_RR f(t) (cos(2\pi ft) + j sin(2\pi ft)) dt = \int_RR f(t)cos(2\pi ft) dt + j\int_RR f(t)sin(2\pi ft) dt$

Ma con $f$ pari si ha $f(t) * cos(2\pi ft)$ è pari quindi essendo il dominio di integrazione simmetrico si può calcolare $2\int_0^{+\infty}f(t) cos(2\pi ft) dt$, mentre $f(t)*sin(2\pi ft)$ è dispari e sempre per il dominio simmetrico puoi dire che l'integrale è nullo.

Cosa analoga se $f$ è dispari.
Ska
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 79 di 441
Iscritto il: 22/12/2008, 22:33


Torna a Ingegneria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 15 ospiti