[Automatica] determinare stati di equilibrio.

Messaggioda moreno88 » 18/04/2009, 18:19

salve a tutti,
vi posto un piccolo esercizio, con alcune domande.
:D

dato un sistema
$baru=1$
$x_1'=(x_1+x_2)(u+1)$
$x_2'=(x_1-x_2)u$
$y=x_1+x_2$
mi chiede di determinare lo stato e l'uscita di equilibrio.
allora pongo a zero le prime due equazioni e ottengo:

$(x_1+x_2)=0$
$(x_1-x_2)=0$

quindi come equilibrio potrei dare un qualunque valore.
$x=[[1],[-1]]$o viceversa..

come faccio ora per l'uscita?.

successivamente mi chiede di linealizzarlo
allora mi calcolo la matrice A

$A=[[u+1, u+1],[u,-u]]$
e sostituendo ho la matrice
$A=[[2, 2],[1,-1]]$
calcolo gli autovalori e ottengo un polinomio del tipo

$\lambda=(1+sqrt(17))/2$
$\lambda=(1-sqrt(17))/2$
posso dire che il sistema è instabile giusto?Dimenticato qualcosa?
il complesso di Piola
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Messaggioda minavagante » 18/04/2009, 20:39

Ciao
non è da molto che faccio controlli comunque forse ti posso dare una mano.
il sistema linearizzato può essere scritto come:
$d/(dt)((z_1),(z_2))=A*((z_1),(z_2))+B*v$
$w=C*((z_1),(z_2))+D*v$
dove A è la matrice Jacobiana delle derivate parziali delle equazioni degli stati fatte rispetto agli stati stessi, B è quella delle derivate parziali rispetto agli ingressi, mentre per quanto riguarda l'uscita y, la matrice C è quella delle derivate parziali delle funzioni d'uscita rispetto agli stati, e D invece è quella delle derivate parziali delle funzioni d'uscita rispetto agli ingressi.
A è giusta, $B=((x_1+x_2),(x_1-x_2))$ $C=((1),(1))$ e D=[0]. Ricordo che $z_1=x-x_(1(eq))$ analogamente per $x_2$ mentre $v=u-u_(eq)$ e $w=y-y_(eq)$.
La stabilità la devi vedere sulla matrice delle funzioni di trasferimento $F_((s))=C*(sI-A)^(-1)*B+D$ e qui avendo un ingresso e un'uscita si trattera di una funzione razionale. Il denominatore di questa funzione sarà come si vede dalla formula il polinomio caratteristico di A, quello che hai scritto correttamente, e per un polinomio di secondo grado, tutti i coefficienti devono essere dell stesso segno per avere stabilità, quindi mi sembra corretto quello che hai scritto :-)
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