[Automatica]funzione di trasferimento e andamenti

[moreno88]

Salve a tutti,
vi riporto un problema che mi sta angosciando

Dato il sistema:
$(x_1)'=x_2$
$(x_2)'=x_3+ux_2x_3+x_1x_2x_3$
$(x_3)'=u+ux_2x_3x_1-3x_3-3x_2-x_1
$y=ux_2x_1-x_2+x_1$
calcolare lo stato e l'equilibrio per $\bar u=0$
mi accorgo che l'equilibrio è il x=(0,0,0) e l'uscita è y=0
per vedere lo stato linearizzo e calcolo gli autovalori di A

allora linearizzato
$\delta(x_1)'=\delta(x_2)$
$\delta(x_2)'=\delta(x_1)(\bar x_2 \bar x_3)+\delta(x_2)(\bar u\bar x_3+\bar x_3\bar x_1)+\delta(x_3)(1+\bar u\bar x_2+\bar x_2\bar x_1)+\delta(\bar x_2\bar x_3)$
$\delta(x_3)'=\delta(x_1)(\bar u\bar x_2\bar x_3-1)+\delta(x_2)(\bar u\bar x_3\bar x_1-3)+\delta(x_3)(\bar u\bar x_2\bar x_1-3)+\deltau(1+\bar x_2x_3x_1)$

calcolo la matrice con i valori dell'equilibrio trovato e ottengo:

$A=[(0,1,0),(0,0,1),(-1,-3,-3)]$
trovo autovalori negativi pertanto è A.Stabile.

mi chiede dopo di trovare la funzione di trasferimento del sistema linearizzato.
come faccio?
costruendomi le matrici nei punti vedo che Bè nulla per tanto è inutile calcolarla cosi ?o sto devo calcolarla non il quel equilibrio ma in generale?:S
oppure devo calcolarmela con le trasformate di Laplace?

[Ska]

il vettore $b$ è $((0),(0),(1))$ che proviene dall'addendo $u$ in $x_3'$, mentre il vettore riga $c$ è $(1,-1,0)$, quindi puoi calcolare la funzione di trasferimento del sistema linearizzato con la formula $c(sI-A)^{-1}b$

[minavagante]

https://www.matematicamente.it/forum/det ... 40693.html

[moreno88]

vi posto un altro "dubbio":
data una funzione di trasferimento del tipo

$H(s)=( 10(1-s))/((1+10s)^2(1+0,1s))e^-(5s)$
mi chiede di calcolare l'andamento qualitativo della risposta y(t) allo scalino unitario...

allora mi chiedo:
l'esponente $e^-(5s)$ come lo considero?
ovvero lo considero come un semplice fattore del numeratore
oppure non lo considero e poi nel grafico qualitativo impongo che ci sia un ritardo pari al fattore nn considerato,traslandolo?


Un altro dubbio,
se nel calcolo dell'andamento qualitativo,usando il teorema del valore iniziale ovvero:
$y'(0)=lim_(s->infty) sY(s)$
$y''(0)=lim_(s->infty) sY(s)$
come posso sapere l'andamento sey'(0) mi tende a piu infinito o viceversa?

[zefiro83]

ciao...
ho un enorme dubbio... date le matrici A B e C, devo trovare la funzione di trasferimento..
ho letto la formula.. ma dato che A è piena di parametri.. trovare la sua inversa è davvero un casino... non ci sono metodi più facili??
provo a riscrivere qui le matrici date...

A = [ -p 2 3 ]
[ 0 p-2 -1 ]
[ 0 1 p-2 ]

B = [ 1 ]
[p-3]
[ 0 ]

C = [1 1 0]

spero possiate aiutarmi..
grazie!!

[moreno88]

non è un casino a calcolare l'inverso..
riprova a fare i calcoli.

[K.Lomax]

@moreno88

Innanzitutto nota che non dovresti studiare $H(s)$ ma $Y(s)$ che nel tuo caso è $Y(s)=(H(s))/s$. Il fattore esponenziale, come da trasformata di Laplace, puoi considerarlo come una semplice traslazione temporale (d'altro canto agisce solo sulla fase).
Non sono concorde con la definizione di valor iniziale che hai riportato. Infatti, sempre dalla trasformata di Laplace si ha:

$y(0)=\lim_(s->\infty)sY(s)$