ELWOOD ha scritto:Ciao....
Un teorema molto importante sulla stabilità fa proprio uso del concetto che hai espresso.
Si tratta del teorema di analisi lineare di stabilità.
L’analisi lineare della stabilità di una soluzione costante $x_0$ si basa sull’idea intuitiva che sia possibile ottenere informazioni sulla stabilità di $x_0$ andando a studiare le equazioni linearizzate nell’intorno del punto $x_0$.
Per capirci se tu hai un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, allora le linearizzi al primo ordine (attraverso Taylor...che per un sistema lineare corrisponde alla matrice jacobiana calcolata nel punto di equilibrio).
Studiando gli autovalori della matrice J puoi capire le proprietà di stabilità dei punti di equilibrio.
Più dettagliatamente se:
-hai almeno un autovalore positivo, la soluzione $x=x_0$ è instabile
-hai tutti gli autovalori negativi la soluzione $x=x_0$ è stabile
Concordo ed aggiungo che il processo di linearizzazione è giustificato per via euristica dal fatto che la traiettoria $x$ si mantiene piccola durante il moto, e che si è interessati ad ottenere delle informazioni qualitative della qualità dell'equilibrio.
Purtroppo non sempre è possibile studiare un problema non lineare con il problema linearizzato associato, circostanza che si verifica quando è presente almeno un autovalore nullo o immaginario puro della matrice associata all'applicazione lineare, dal momento che i termini non lineare influiscono sulla stabilità del sistema. In questi casi o si cerca di integrare il problema non lineare, oppure si può far ricorso ad integrali intermedi.