Antitrasformata di Fourier di questo segnale?

[hastings]

Ciao a tutti,

Devo calcolare la correlazione tra i segnali x(t) avente come trasformata di Fourire $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2}$ e il segnale $y(t)=\delta(t+10)-\delta(t-10)$

Ho pensato di calcolare x(t) e poi fare la correlazione secondo la definizione: $R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{\star}(t) y(t+\tau) dt$
Quindi l'ostacolo principale da rimuovere è trovare x(t).

Guardando X(f) salta all'occhio che ci siano quadrati al numeratore e al denominatore e che il denominatore assomigli tanto alla trasformata di $e^{-\alpha t} u(t)$
Quindi: $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2} = |\frac{4}{2+j2\pi f}|^2 $ però non so cosa cavarne fuori.

Potreste aiutarmi?

[K.Lomax]

Non perdiamoci in un bicchier d'acqua. Esiste la seguente trasformata notevole:

$F{e^(-b|t|)}=(2b)/(b^2+(2\pif)^2)$

da cui per b=2

$F{e^(-2|t|)}=(4)/(4+(2\pif)^2)$

ovvero

$F^(-1){16/(4+(2\pif)^2)}=4e^(-2|t|)$

A questo punto

$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(t)y(t+\tau)dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)[\delta(t+\tau+10)-\delta(t+\tau-10)]dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(-10-\tau))dt-4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(10-\tau))dt=$

$=4[e^(-2|\tau+10|)-e^(-2|\tau-10|)]$

Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.

[hastings]

Grazie! Non sapevo di questa trasformata.
Stavo pensando di fare così:
$X(f)=\frac{16}{4+(2\pif)^2}=\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$

quindi trovare i valori di A e B dal confronto tra i numeratori:

$16=A(2-j2\pi f) + B(2+j2\pi f)$

svolgo i calcoli a secondo membro e dico che

${( 2(A+B)=16),(j2\pi f(B-A)=0 ):}$

da cui si ricava che $A=B=4$

Così posso trovare x(t) anti-trasformando i due pezzi: $\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$

(quello con B al numeratore ha -f anziché f allora bisogna ricordare che X(-f) --> x(-t) )
Quindi sostanzialmente ho 2 esponenziali praticamente identici, solo che uno "scende" a zero, nel verso positivo delle t e l'altro (quello con u(-t) ) nel verso negativo delle t:

$x(t)=4{e^{-2t}u(t)+e^{2t}u(-t)}$

Così trovavo x(t), poi sono un altro paio di maniche per calcolare la correlazione $R_{}(\tau)=x*(t) \star h(t)$
Qui sotto il disegno dei due esponenziali, solo fai finta che non ci siano i prolungamenti al di sopra del punto di intersezione con l'asse delle ordinate.

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[K.Lomax]

Ma infatti $e^(-2|t|)$ lo puoi vedere come $e^(-2t)$ per $t>=0$ e $e^(2t)$ per $t<0$ che è esattamente quello che hai scritto tu utilizzando la funzione scalino beh una volta ottenuta la antitrasformata non è poi così difficile determinare la correlazione. Ti ricordo, però, che la convoluzione non corrisponde alla correlazione (c'è un segno che fa differenza).

[ViciousGoblin]

Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.

Mi spiegheresti cosa intendi con quanto sopra ? (e' una mia curiosita' non una obiezione). Forse non capisco bene cosa chiami teorema di Parseval (io pensavo all'eguaglianza di
Parseval , che collega "l'energia" della funzione con quella della traformata). Grazie.

[TitusI]

Chiedo scusa, ma in questo caso non sarebbe possibile calcorare Y(f) eseguire il prodotto X(f)Y(f) e poi antitrasformare?
Mi sembra piu' facile che fare una antitrasformata e una convoluzione...o no? Se dico un idiozia aiutatemi a guarire per favore...

Ho anche io qualche domanda sulle funzioni di autocorrelazione e le loro relazioni di I/O in un sistema LTI, posso aggiungerle qua' o e' meglio che apra una nuova discussione?

[K.Lomax]

@Vicious Goblin

L'uguaglianza di Parseval afferma che:

$\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)df$

dove nel caso particolare in cui consideri $y(t)=x(t)$ hai effettivamente un legame tra l'energia del segnale e la sua trasformata (che deve essere la stessa, come ovvio che sia). Adesso se io considero il mio segnale $y(t)=y(t+\tau)$ si ha:

$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t+\tau)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)e^(-j2\pif\tau)df$

quindi volendo potrei trasformare $y(t)$, nel nostro caso le due $\delta$, e procedere nel dominio della frequenza.

[ViciousGoblin]

@K.Lomax

Ho capito - grazie

[hastings]

Ti ricordo, però, che la convoluzione non corrisponde alla correlazione (c'è un segno che fa differenza).

Si hai ragione, ma in questo caso x*(t)=x(t).

Chiedo scusa, ma in questo caso non sarebbe possibile calcorare Y(f) eseguire il prodotto X(f)Y(f) e poi antitrasformare?

In effetti hai ragione, Y(f) introduce dei ritardi in X(f) perché $Y(f)=e^{j2\pi 10}-e^{-j2\pi 10}$. Quando si va ad antitrasformare $\bar{X} (f)Y(f)$ (il segno sopra X(f) ne indica il coniugato) basta introdurre un certo ritardo in x(t).
Però in frequenza andrebbe calcolato X*(f) che sostanzialmente cambia i segni a $j2\pif$ al denominatore dei 2 addendi:

$\frac{A}{2-j2\pif}+\frac{B}{2+j2\pif}$. Giusto (il fatto di cambiare segno)?

[K.Lomax]

@hastings

Quando dico che la correlazione è diversa dalla convoluzione intendo dire che, nel primo caso, il segno del tempo è positivo; nel secondo caso, invece, è negativo. Questo (e si vede dalla trasformata) fa differenza. Quello che hai scritto tu $x(t)=x^*(t)$, ovvero il segnale uguale al suo coniugato, vale solo per segnali reali. Se vuoi calcolare la correlazione operando nel dominio della frequenza devi utilizzare la relazione di Parseval che ti ho indicato.