problema con i transitori

[stefu1989]

ciao a tutti e grazie a chi mi risponderà. sono nuova del forum e ho subito una domanda da porvi.
faccio molta fatica a risolvere gli esercizi di elettrotecnica con transitori. per esempio nell'esercizio 1.2 (http://www.elettrotecnica.unina.it/file ... izi_TR.pdf) non capisco come viene calcolata la soluzione particolare. perchè vp(t)=E1? forse sbaglio a disegnare il circuito per t->infinito.

[Ska]

Come dice la soluzione, per $t-> + \infty$ il sistema sarà a regime, dato che il regime è in continua (non ci sono generatori di tensione o corrente sinusoidali) anche la tensione del condensatore sarà un numero fisso e dato che in continua il condensatore si comporta come un circuito aperto, non ci sarà corrente che attraversa la resistenza, dunque la tensione ai capi di essa sarà nulla, e quindi la tensione ai capi del condensatore deve essere uguale a quella del generatore di tensione E1.

Comunque anche senza sapere questo, impostando il problema di cauchy associato e ricavando la soluzione ottieni esattamente quel valore, infatti hai

$E1 - RC*v'_c - v_c = 0$ quindi $v'_c + (v_c)/(RC) = (E1)/(RC)$ e $v_c(0)=2$, quindi risolvendo l'equazione differenziale a coefficienti costanti hai la soluzione che è data da

$v_c(t)=Ke^{-RC*t} + v_p(t)$ dove $v_p$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, quindi cercando una soluzione di tipo costante $v_p(t) = A$ (dato che la funzione E1 è costante) si ottiene $A/(RC) = (E1)/(RC)$ da cui $A=E1$ quindi la soluzione completa è

$v_c(t) = Ke^{-RC*t} + E1$

imponendo la condizione iniziale si ha

$2 = K+E1$ da cui $K = 2-E1$ quindi la soluzione sarà $v_c(t) = E1 + (2-E1)e^{-RC*t}$ che per $t->\oo$ risulta $v_c(\oo)=E1$

La soluzione la puoi vedere come la composizione della risposta libera del sistema quindi con $E1 = 0$ e quindi il condensatore che da tensione iniziale si scarica a zero con andamento $v_c(t) = 2*e^{-RC*t}$, e la risposta forzata al generatore E1 (partendo da condizione iniziale nulla) data da $v_c(t) = E1*(1-e^{-RC*t})$

[K.Lomax]

Gli esponenziali non sono corretti. Infatti dalla soluzione dell'equazione differenziale si ottiene $\lambda=-1/(RC)=-1/\tau$ con $\tau$ costante di tempo. Correttamente si ha $e^(-t/(RC))$ (un modo per poter accorgersene è tramite un'analisi dimesionale; infatti, l'argomento di una funzione deve essere sempre adimensionale, mentre in quel caso si avrebbe $sec^2$).

[Ska]

ops

[stefu1989]

ok, credo di aver capito, ma non riesco a fare questo esercizio (n.1):
http://img26.imageshack.us/img26/5524/img009ftt.jpg

Per $t<0$ ho il circuito 1. Con l'equazione di millman trovo $iL(0)=i4(0-)=10 A$. E' corretto?
Per $t>0$ ho il circuito 2 che trasformo nel circuito 4 (metto in serie R2 e R3, trasformo la serie tra R23 e il generatore Vg in un parallelo tra $Ig=Vg*R23=15 A$ e R23 e infine metto in parallelo R23 e R4 ottenendo una resistenza di 2 ohm). Ora faccio l'equazione differenziale.
$v=LdiL/dt$
$v3+vL=vR$
$v3=iL*R3=3iL$
$vR=R*(Ig-iL)=30-2iL$
Sostituendo ottengo $diL/dt=-5iL/L+30/L$ la cui soluzione è $iL(t)=ce^(-10t)$ + soluzione particolare. la soluzione particolare mi viene 6 e $c=10$.

il risultato invece dovrebbe essere $iL(t)=-4e^(-9t)+10$.

cosa sbaglio?

[stefu1989]

(le derivate di iL sono venute male perchè ho fatto le L maiuscole... spero si capisca lo stesso...)

[Ska]

il testo dice che per $t < 0$ l'interruttore è aperto, quindi la resistenza R1 non viene aggirata, mentre per $t >= 0$ la resistenza R1 non compare poichè in parallelo a un corto circuito.

[K.Lomax]

Come hai applicato il teorema di Norton se c'è un componente reattivo???? E poi c'è ancora un errore dimensionale.....$I_g=V_g*R_(23)$?????

[Ska]

ha trasformato solo la parte resistiva della rete, non ci sono problemi per quello... il problema è a monte....il circuito che considera è sbagliato perchè R1 non dovrebbe esserci.

[stefu1989]

grazie mille!! finalmente sono riuscita a farlo. Non avevo capito come funzionavano gli interruttori. Ora è tutto chiaro.
Ancora grazie.