Esercizio di antenne (un aiutino?!?) manca un passaggio

[aduri]

In questo esercizio di Antenne mi manca solo un passaggio, il valore di d (dovrebbe essere 60 ma non sò come arrivarci)
Ecco il testo:

Un'antenna possiede una funzione di direttività D=30(1+sin^4(teta)).
Si supponga che essa produca, nella direzione di massima irradiazione, un campo di 7v/m alla distanza di 400m (Far Field),
si determini la potenza irradiata.


Soluzione:

La densità di potenza pirr=E^2/2Z0 ipotizzando come mezzo il vuoto Z0=377ohm quindi

L'intensità di radiazione S= pirr * r^2 = 7^2*(400)^2/2*377= 10400W

la Pot= 4 * 3,14 * Smax /d = 13624/60???= 2177W

Siamo agli ultimi esami

Grazie dell'aiuto

Antonio

[K.Lomax]

Per la prossima volta ti consiglio di scrivere le formule secondo quanto previsto dal forum. Per quanto riguarda il tuo problema la direttività è definita in questa maniera:

$D(\theta,\phi)=\frac{S(\theta,\phi)}{P_(irr)/(4\pir^2)}$

quindi

$P_(irr)=4\pir^2\frac{S(\theta,\phi)}{D(\theta,\phi)}=4\pir^2\frac{|E|^2/(2\zeta_0)}{D(\theta,\phi)}$

Ma ti dice che devi considerare la direttività nella direzione di massima irradizione ed è facile notare che si ha per $\theta=\pi/2$ ovvero $D_(max)=30(1+sin^4(\pi/2))=60$. Quindi la $P_(irr)$ sarà:

$P_(irr)=4\pir^2\frac{|E|^2/(2\zeta_0)}{D_max}=4\pi (400)^2 \frac{49/(2*377)}{60}=2177W$

[aduri]

Grazie sei stato molto gentile a rispondermi.

Ma ti dice che devi considerare la direttività nella direzione di massima irradizione ed è facile notare che si ha per $theta=pi/2$

Questa affermazione mi sfugge.

[K.Lomax]

Quel risultato lo puoi ricavare in due modi.
Il primo è strettamente intuitivo. Infatti la funzione $sinx$ è compresa nell'intervallo $[-1,1]$ e quindi il suo valore massimo è $1$ e lo si ha per $\theta=\pi/2$ (in realtà essendo il seno al quadrato andrebbe bene anche $\theta=3\pi/2$, comunque a te interessa il valore del massimo e non la direzione. Nota inoltre che la funzione è minima quando il seno è zero, in quanto essendo al quadrato non potrà mai essere negativo, e ciò si ha per $\theta=\pi$ e $\theta=2\pi$).
Alternativamente puoi procedere nella maniera classica del calcolo dei minimi e massimi, ovvero mediante la seguente disegueglianza:

$(dD(\theta))/(d\theta)=30(4sin^3\thetacos\theta)>=0$

Quindi escludendo la periodicità:

$sin\theta>=0\Rightarrow0<=\theta<=\pi$
$cos\theta>=0\Rightarrow0<=\theta<=\pi/2,3/2\pi<=\theta<=2\pi$

Fatti il classico diagrammino ("regola dei segni") e scoprirai che ci sono 2 massimi (nei valori detti prima) e due minimi in $\pi$ e $2\pi$. Come vedi l'intuito può farti risparmiare un bel po' di conti

[aduri]

Tutto chiaro,
molte grazie.

Antonio