Teorema del campionamento: frequenza di nyquist

[Lauke]

Buon giorno ragazzi. Sia $s(t)$ un segnale passabasso la cui banda sia compresa in $]-f_m,f_m[$. Sappiamo che se da tale segnale vengono prelevati campioni con frequenza $f_c = 2fm$ possiamo ricostruire il segnale tramite la base cardinale costituita dalla famiglia $u_n(t) = sqrt(f_c)sinc(f_c(t-frac{n}{f_c}))$. Il sistema citato ha la caratteristica di essere un set completo, e ortonormale il che ci fa arrivare alle stelle per la felicità. Sappiamo inoltre che se la frequenza di campionamento è inferiore a quella di nyquist, non è ovviamente possibile ricostruire il segnale di partenza. Se la frequenza di campionamento è invece superiore a quella di nyquist mi sorgono dei dubbi...

Per cui sia $f_c>2fm$

allora innanzi tutto si dimostra che la famiglia di segnali associata in questo caso non è più un set ortogonale inoltre, e qui in particolare mi sono perso, questa famiglia non può costituire base per lo spazio dei segnali passabasso, ma allora questo significa che non posso ricostruire un segnale passabasso se prelevo campioni con frequenza superiore a quella di nyquist? E se ciò è vero perchè?

Ma allora qual'è la conclusione? che in caso di frequenza superiore a quella di nyquist si individua una famiglia di funzioni che mi permette di ricostruire UN solo segnale? in quanto essi non sono base per lo spazio dei segnali passabasso?

[K.Lomax]

Mi sa che non hai letto bene il teorema del campionamento di Shannon... Un segnale, una volta campionato, può essere correttamente ricostruito anche se $f_c>2f_m$. Infatti, in tal caso, le repliche in frequenza non si sovrappongono (anzi sono maggiormente distanti e dunque, non essendoci sovrapposizione, il segnale non è distorto) e quindi basta porre a valle del campionatore un filtro passa basso per ottenere il segnale originario.

[Lauke]

Mi sa che non hai letto bene il teorema del campionamento di Shannon... Un segnale, una volta campionato, può essere correttamente ricostruito anche se $f_c>2f_m$. Infatti, in tal caso, le repliche in frequenza non si sovrappongono (anzi sono maggiormente distanti e dunque, non essendoci sovrapposizione, il segnale non è distorto) e quindi basta porre a valle del campionatore un filtro passa basso per ottenere il segnale originario.

Non ho sindacato su questo...ma il set di funzioni che ci si ricava da un campionamento di quel tipo ($f_c>2f_m$) non costituisce una base per lo spazio dei segnali passabasso. Il teorema l'ho letto, e pure bene, era un caso che mi lasciava perplesso, quello da me esposto. Scelta oppurtunamente una sequenza di $\alpha_n$ è possibile individuarne una non nulla tale che lo spettro del segnale nella banda d'interesse sia nullo, ed è di questo che non ho capito bene il perchè, anche se minimamente lo intuisco. E il fatto che in questo caso si riesca ad individuare una tale sequenza fa si che non si può generalizzare nel concetto di base per lo spazio dei segnali passabasso. Questo significa che, o almeno così ho capito io, che per ogni segnale si deve distinguere il set di funzioni che permette di ricostruire il segnale, non che esso non sia ricostruibile. è chiaro cosa volevo dire adesso? Il mio dubbio era sul perchè di tutto ciò...

[clrscr]

Da quanto ho capito la vedo così...
Dunque, noi abbiamo una famiglia di funzioni ortogonali (che tu hai definito con $u_n(t)$). Questa famiglia di funzioni è sempre ortogonale qualunque sia $f_c$.
Il problema sta nel fatto che se $f_c$ rispetta la candizione di Nyquist cioè $fc>=2f_m$ allora esiste una combinazione lineare NON NULLA delle funzioni ortognali $u_n(t)$ tali che:
$g(t)=sum_(n=-oo)^(+oo) g(n) u_n(t)$ con $g(n)$ la versione compionata di $g(t)$.

Contrariamente, l'unica soluzione plausibile è quella identicamente nulla....

[Lauke]

Non ho capito granchè...se devo essere sincero, mi hai "quasi" riscritto il teorema più un "contrariamente, l'unica plausible è quella nulla" che non ho capito a cosa era legato...