Utilità della Q-Function...

[Lauke]

Ragazzi sto studiando le variabili aleatorie notevoli, tra le quali, ovviamente, mi sono imbattuto nella mitica Gaussiana. Tra gli appunti mi ritrovo l'altrettanto mitica Q-Function che è legata legata algebricamente alla Gaussiana ma la cosa che mi domandavo era, ma a che serve alla fine sta Q function?

[K.Lomax]

A che serve la Q-function? Riusciresti a determinare la primitiva del seguente integrale

$\inte^(-x^2)dx$

?

[Lauke]

No...ma cmq non continuo a vederne l'utilità cioè dov'è che può servirmi?

[K.Lomax]

La Q-function, indichiamola con $Q(x)$, è una funzione integrale così definita:

$Q(x)=1/sqrt(2\pi)\int_(x)^(\infty)e^(-t^2/2)dt$

Se adesso supponi di avere una variabile aleatoria $X$ con distribuzione normale (supponiamo standard, media nulla e varianza unitaria), ovvero $X\simN(0,1)$, vuol dire che la pdf di $X$ è

$f_X(x)=1/sqrt(2\pi)e^(-x^2/2)$

da cui, se vuoi determinare la funzione di distribuzione cumulativa $\Phi_X(x)$, ovvero la probabilità che la variabile $X$ sia inferiore ad un certo $x$, si avrà:

$\Phi_X(x)=Pr{X<=x}=1/sqrt(2\pi)\int_(-\infty)^(x)e^(-t^2/2)dt=1-1/sqrt(2\pi)\int_(x)^(\infty)e^(-t^2/2)dt=1-Q(x)$

Come vedi questa funzione integrale è necessaria al fine di determinare la probabilità che si verifichi un determinato evento. Essa è tabellata in quanto non è possibile determinare una forma chiusa del suddetto integrale.

[Lauke]

Quindi in parole povere è una funzione sulla quale si "sa tutto" e permette di esprimere la dft gaussiana?

[K.Lomax]

Dire che si sa tutto mi sembra un'espressione abbastanza inappropriata, dal momento che non se ne ha una espressione esplicita . E' una funzione integrale e fissato un valore del suo argomento permette di determinare la probabilità che si verifichi un evento, qualora questo possa essere modellato con una variabile aleatoria gaussiana. Purtroppo, il valore che essa assume nei diversi punti è possibile ottenerlo solo per via numerica. Legate alla $Q$ ci sono tante considerazioni interessanti da poter fare, ad esempio capire come varia la sua forma al variare della varianza fissato il valore medio o la cosiddetta legge dei 3-sigma (tutte cose molto intuitive se ad essa ne dai il semplice significato di area sottesa dalla campana gaussiana). Ti consiglio di approfondire.

[Lauke]

"Dire che si sa tutto mi sembra un'espressione abbastanza inappropriata"

per questo l'ho messo tra virgolette

cmq ti ringrazio