Linea elastica...dove sbaglio?

[stokesnavier87]

Ciao a tutti amici,
qualcuno sa dirmi come imporre le condizioni al contorno della linea elastica?
Cioè per imporre tali condizioni bisogna guardare la struttura,i vincoli o cosa?
Ogni volta che faccio un esercizio di questo tipo resto bloccato sulle condizioni al contorno.
Avete consigli su come uscirne?
Ringrazio tutti coloro che risponderanno.
Michele.

[Whispered]

Ciao,
per comprendere le condizioni al contorno (c.c.) che costituiscono la linea elastica è bene comprendere quali siano le caratteristiche della struttura che contribuiscono alla loro definizione, per fare questo permettimi di introdurre un'affermazione generica così da poter valutare tutti gli aspetti che concorrono alla loro definizione.

"Le condizioni al contorno della linea elastica (L.E.) sono dettate dalle condizioni statiche e cinematiche offerte dagli eventuali vincoli".

Le c.c. sono quindi imposte dai vincoli che definiscono per punti noti (ovvero i punti della L.E. caratterizzati proprio dalla presenza dei vincoli stessi) condizioni sia statiche che cinematiche.
Come già affermato in precedenza l'affermazione di cui sopra deve essere letta in sensu lato poichè essa è fortemente influenzata dalla natura dell'equazione della L.E., quest'ultima è di fatto un differenziale del IV ordine che necessita di 4 c.c. indipendenti (oltre ai carichi) per l'integrazione così che lo stato di sollecitazione e di deformazione sia univocamente determinato.
La dualità tra le condizioni cinematiche e quelle statiche fa si che la L.E. venga spesso utilizzata nella risoluzione di strutture iperstatiche per la determinazione della configurazione deformata e di una o più incognite iperstatiche come un differenziale di II ordine, in tale caso appare evidente che che è necessario conoscere 2 sole c.c., in particolare le sole condizioni cinemetiche.
Poichè qest'ultimo aspetto è quello maggiormente indagato ritengo sia opportuno approfondire la natura delle c.c..
Per una L.E. del II ordine le c.c. sono come già detto definite dalle sole condizioni cinematiche offerte dai vincoli in particolare è opportuno introdurre un'ulteriore classificazione:
- condizioni al contorno: quali le caratteristiche cinematiche offerte dai vincoli posti alle stremità della struttura;
- condizioni di continuità: le caratteristiche cinematiche indotte da vincoli intermedi alla struttura.
Per chiarire quanto sopra si consideri una trave continua su tre appoggi (due campate) avente carico uniformemente distribuito verticale e per vincoli alle estremità (A e C) due incastri perfetti mentre il vincolo intermedio (B) è costituito da un carrello; tale configurazione (con 3 incognite iperstatica) necessità di 7 c.c. ($2*n+I$ con n: numero campi d'integrazione, I: numero di iperstatiche), per cui:
1_ y(s=0) = 0;
2_ y'(s=0) = 0;
3_ y(r=l) = 0;
4_ y'(r=l) = 0;
5_ y(s=l) = 0;
6_ y(r=0) = 0;
7_ y’(s=l) = y’(r=0).
Con s, r coordinate di linea rispettivamnte del primo campo di integrazione e del secondo.
Le prime sei c.c. rappresentano condizioni al contorno mentre la settima è una condizione di continuità poiché per le proprietà dell’asta la rotazione del primo tratto dovrà essere uguale alla rotazione del secondo.
Eventuali cedimenti dovranno quindi essere computati alla stregua di una semplice condizione cinematica.

Per definire le c.c. è quindi necessario stabilire il numero strettamente necessario, individuare tutte le condizioni al contorno ( di semplice visualizzazione) ed infine concentrarsi sulla possibile esistenza di condizioni di continuità.
Ti consiglio poi di prestare particolare attenzione ai segni di eventuali cedimenti o dilatazioni termiche; particolare attenzione dovrà poi essere prestata al segno delle condizioni di continuità dato che non è detto che le deformazioni uguagliate fra di loro siano entrambe di segno concorde (nell'esempio sopra riportato lo sono poichè sono stati considerati due sistemi di riferimento sovrapponibili).

Spero di esserti stato utile e di non aver fatto confusione, eventualmente se hai qualche dubbio su un esercizio specifico puoi iniziare a riportarlo così da poter discutere sul caso in esame senza divagazioni di carattere generale, concorderai con me che la trattazione delle c.c. per la L.E. in via generica non è certo cosa pratica e speditiva.

Ciao

[stokesnavier87]

Ciao whispered,
concordo pienamente con te sul fatto che la linea elastica non sia poi così speditiva e semplice,infatti preferisco personalmente risolvere le strutture col principio dei lavori virtuali(spero tu sappia di cosa stia parlando).
Una sola puntualizzazione su quanto hai detto:Le equazioni della LE che ho incontrato io finora sono state tutte equazioni differenziali del secondo ordine,(V" per intenderci),perchè dici che La LE è un differenziale del quarto ordine?

Per il resto tutto super chiaro.

Ciao.

[Whispered]

La L.E. è un differenziale del IV ordine poichè viene ricavata sfruttando le equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza.
come è noto dalla meccanica dei solidi i carichi e le caratteristiche di sollecitazione sono tra loro collegati tra loro dalle equazioni differenziali (eq. indefinite di equilibrio):
$(dT(z))/dz+q(z)=0$
$(dM(z))/dz+m(z)=T(z)$
La trave risulta quindi soggetta soltanto a taglio (T) ed a momento flettente (M) mentre viene adottato un sistema di riferimento (Y, Z) nel piano della trave (X sarà ovviamente ortogonale a detto piano).
Specificate le c.c. della trave sarà possibile definire la soluzione al problema determinando così in forma definita le espressioni per il taglio e per il momento lungo l'asse della trave in analisi.
Nel caso in cui $m(z)=0$ le precedenti possono essere così semplificate:
$(dM(z))/dz=T(z)$ da cui $(d^2M(z))/dz^2=-q(z)$

Il legame tra spostamenti e caratteristiche di deformazione è dominato dalle eq. indefinite di congruenza:
$(dphi(z))/dz=k(z)$
$(dv(z))/dz+phi(z)=gamma(z)$
Anche in questo caso le condizioni cinematiche indotte dai vincoli renderanno definite tali equazioni.
Ritenendo trascurabile il termine di scorrimento $gamma(z)$ si ha:
$(dv(z))/dz+phi(z)=0$ da cui $(d^2v(z))/dz^2=-k(z)$

Le equazioni di congruenza e di equilibrio sono tra loro collegate dalle equazioni costitutive, nel caso elastico lineare sono:
$gamma(z)=(chi*T(z))/GA$ $k(z)=(M(z))/EJ$
(poichè è stata definità trascurabile la deformabilità a taglio nel proseguo si farà riferimento solamente alla seconda delle precedenti).

Nel rispetto delle ipotesi sin qui avanzate i tre gruppi di equazioni visti possono essere raccolti in un'unica equazione differenziale ottenuta per derivazioni successive.
$(dv(z))/dz+phi(z)=0$ $=>$ $v'(z)=-phi(z)$
$(dphi(z))/dz=k(z)$ $=>$ $v''(z)=-k(z)$
$M(z)=EJ*k(z)$ $=>$ $-EJ*v''(z)=M(z)$
$(dM(z))/dz=T(z)$ $=>$ $-[EJ*v''(z)]'=T(z)$
$(dT(z))/dz+q(z)=0$ $=>$ $[EJ*v''(z)]''=q(z)$

Avendo indicato con il segno di apice la derivata rispetto a z.
L'equazione differenziale del IV ordine ottenuta prende il nome di Equazione della Linea Elastica.
Nel caso $EJ$ sia costante l'ultima equazione può essere scritta nella forma:
$EJ*v^((IV))=q(z)$

L'applicazione delle L.E. di IV ordine viene generalmente adottata per l'analisi di travi continue su suolo elastico mentre nell'anali delle strutture viene generalemente adottata la forma al secondo ordine proprio per la dualità accennata nella trattazione delle c.c.

La dualità tra le condizioni cinematiche e quelle statiche fa si che la L.E. venga spesso utilizzata nella risoluzione di strutture iperstatiche per la determinazione della configurazione deformata e di una o più incognite iperstatiche come un differenziale di II ordine,...

Ciao