La L.E. è un differenziale del IV ordine poichè viene ricavata sfruttando le
equazioni indefinite di equilibrio e di congruenza.
come è noto dalla meccanica dei solidi i carichi e le caratteristiche di sollecitazione sono tra loro collegati tra loro dalle equazioni differenziali (
eq. indefinite di equilibrio):
$(dT(z))/dz+q(z)=0$
$(dM(z))/dz+m(z)=T(z)$
La trave risulta quindi soggetta soltanto a taglio (T) ed a momento flettente (M) mentre viene adottato un sistema di riferimento (Y, Z) nel piano della trave (X sarà ovviamente ortogonale a detto piano).
Specificate le c.c. della trave sarà possibile definire la soluzione al problema determinando così in forma definita le espressioni per il taglio e per il momento lungo l'asse della trave in analisi.
Nel caso in cui $m(z)=0$ le precedenti possono essere così semplificate:
$(dM(z))/dz=T(z)$ da cui $(d^2M(z))/dz^2=-q(z)$
Il legame tra spostamenti e caratteristiche di deformazione è dominato dalle
eq. indefinite di congruenza:
$(dphi(z))/dz=k(z)$
$(dv(z))/dz+phi(z)=gamma(z)$
Anche in questo caso le condizioni cinematiche indotte dai vincoli renderanno definite tali equazioni.
Ritenendo trascurabile il termine di scorrimento $gamma(z)$ si ha:
$(dv(z))/dz+phi(z)=0$ da cui $(d^2v(z))/dz^2=-k(z)$
Le equazioni di congruenza e di equilibrio sono tra loro collegate dalle
equazioni costitutive, nel caso elastico lineare sono:
$gamma(z)=(chi*T(z))/GA$ $k(z)=(M(z))/EJ$
(poichè è stata definità trascurabile la deformabilità a taglio nel proseguo si farà riferimento solamente alla seconda delle precedenti).
Nel rispetto delle ipotesi sin qui avanzate i tre gruppi di equazioni visti possono essere raccolti in un'unica equazione differenziale ottenuta per derivazioni successive.
$(dv(z))/dz+phi(z)=0$ $=>$ $v'(z)=-phi(z)$
$(dphi(z))/dz=k(z)$ $=>$ $v''(z)=-k(z)$
$M(z)=EJ*k(z)$ $=>$ $-EJ*v''(z)=M(z)$
$(dM(z))/dz=T(z)$ $=>$ $-[EJ*v''(z)]'=T(z)$
$(dT(z))/dz+q(z)=0$ $=>$ $[EJ*v''(z)]''=q(z)$
Avendo indicato con il segno di apice la derivata rispetto a z.
L'equazione
differenziale del IV ordine ottenuta prende il nome di
Equazione della Linea Elastica.
Nel caso $EJ$ sia costante l'ultima equazione può essere scritta nella forma:
$EJ*v^((IV))=q(z)$
L'applicazione delle L.E. di IV ordine viene generalmente adottata per l'analisi di travi continue su suolo elastico mentre nell'anali delle strutture viene generalemente adottata la forma al secondo ordine proprio per la dualità accennata nella trattazione delle c.c.
La dualità tra le condizioni cinematiche e quelle statiche fa si che la L.E. venga spesso utilizzata nella risoluzione di strutture iperstatiche per la determinazione della configurazione deformata e di una o più incognite iperstatiche come un differenziale di II ordine,...
Ciao