Un aiutino con Fourier

[Bandit]

Ho un segnale x(t) reale e pari, so che è periodico T=2, e ha coefficienti di Fourier $X_k$
$X_k=0$ $|k|>1$ e so che $1/2int x(t)^2 dt =1$ l'integrale è tra 0 e 2.
Devo specificare 2 segnali che soddisfano le condizioni.

facendolo con amici sono usciti $2+A cos(2pi1/2t)$ e $1/2+Acos(pit)
perchè il 2 e l'1/2? le frequenze le ho capite, è la componente continua che mi da dubbi

ciao

[luca.barletta]

Il problema si può risolvere così: poiché deve essere $X_k = 0, |k|>1$, allora nel segnale si avrà una componente continua $A$ ($X_0=A$) e un tono cosinusoidale $ 2Bcos((2pi)/2t) $ ($X_1=X_(-1)=B$). Bisogna soddisfare anche il vincolo sull'energia del segnale, che per la relazione di Parseval si può anche esprimere come:
$ 1/2 sum_(k=0)^1 X_(k)^2 = 1$
dunque dovrà essere:
$ A^2+2B^2=1 $

Questa equazione fornisce tutte le famiglie di segnali che rispettano i vincoli.

[Bandit]

e un tono cosinusoidale $ 2Bcos((2pi)/2t) $ ($X_1=X_(-1)=B$).

perchè 2B? poichè c'è $X_1$ e $X_(-1)$

Bisogna soddisfare anche il vincolo sull'energia del segnale, che per la relazione di Parseval si può anche esprimere come:
$ 1/2 sum_(k=0)^1 X_(k)^2 = 1$

Con $X_(k)$ stai ad intendere tutto il segnale? cioè la componente continua e la componente cosinusoidale?

[luca.barletta]

e un tono cosinusoidale $ 2Bcos((2pi)/2t) $ ($X_1=X_(-1)=B$).

perchè 2B? poichè c'è $X_1$ e $X_(-1)$

Esatto, il segnale deve essere reale e pari, e dunque così anche la sua trasformata, $X_1=X_(-1)$

Bisogna soddisfare anche il vincolo sull'energia del segnale, che per la relazione di Parseval si può anche esprimere come:
$ 1/2 sum_(k=0)^1 X_(k)^2 = 1$

Con $X_(k)$ stai ad intendere tutto il segnale? cioè la componente continua e la componente cosinusoidale?

I coefficienti $X_k$ sono i coefficienti di Fourier, dunque $X_0$ sarà la componente continua e $X_1, X_(-1)$ daranno la componente cosinusoidale, infatti:

$F^(-1)[X_(-1)delta(f+(2pi)/T)+X_(1)delta(f-(2pi)/T)] = e^(j2pit/T)+e^(-j2pit/T) = 2cos(2pit/T) = 2cos(pit)$

dove ho indicato con $F^(-1)$ l'antitrasformata discreta di Fourier.

[Bandit]

l'ultimo punto con parseval non mi torna:
io so che l'energia di un segnale con parseval è $int |x(t)|^2 dt $ con l'integrale che va da -infinito a +infinito.

con la sommatoria non me la ricordavo.

Ho capito cosa sono gli $X_k$, anzi già lo sapevo, solo che non ho capito l'utilizzo nella tua formula di Parseval

[luca.barletta]

Dalla relazione di Parseval si ha:

$ int x(t)^2 dt= int X(f)^2 df $

ma poiché stiamo utilizzando la trasformata discreta:

$ int X(f)^2 df = sum_k X_(k)^2$

[Bandit]

Dalla relazione di Parseval si ha:

$ int x(t)^2 dt= int X(f)^2 df $

ma poiché stiamo utilizzando la trasformata discreta:

$ int X(f)^2 df = sum_k X_(k)^2$

ok, ho capito.
quindi tu hai risolto il tutto con l'equazione $A^2+2B^2 =1$
cmq non riesco a capire da dove esce il 2 e l'1/2 delle componenti continue dei 2 segnali. bo non so

[luca.barletta]

Ma nella soluzione che hai dato tu nel primo post, quanto vale A?

[Bandit]

A è un coefficiente così :a caso

[luca.barletta]

Bè, bisognerebbe bloccarlo in modo da dare energia unitaria.