Convergenza alla radice con il Metodo di Newton

[ZombieBest]

Salve! Ho il seguente esercizio che sto provando a risolvere, con qualche dubbio qua e la:

Sia $f(x)=x-e^(x-2)$. Disegna il grafico di f e Localizza gli intervalli delle due radici $\alpha$ e $\beta$.
Fin qui tutto bene, disegno velocemente in grafico e trovo i seguenti intervalli: $\alpha in(0, 1), \beta in(3, 4)$.

Adesso il problema mi chiede: studia la convergenza ad $\alpha$ del Metodo di Newton. La successione $x_0=0$ è convergente ad $alpha$? Se convergente qual'è l'ordine di convergenza?. Poi fa anche la stessa domanda per $\beta$ con $x_0=3$.

Io qui non ho ben capito come determinare se il punto converge ad $\alpha$. Mi metto a fare i conti usando la seguente formula: $x_(n+1)=x_n-(f(x_n)/f^'(x_n))$. Per $x_0$ ottengo $x_1=0.16$. La $f(x_0)=-0.14$ mentre la $f(x_1)=1.18$... si allontana? Se continuo con il calcolo del punto $x_2$ ottengo $x_2=2.24$ che addirittura è fuori dall'intervallo di $\alpha$. Posso dedurre che non converge?
Stesso dubbio con $\beta$ e $x_0=3$, $f(3)=0.28$, mentre con il punto trovato $x_1=3.16$ la $f(x_1)=-0.3$... si avvicina a zero, ma cambia segno? è giusto che lo faccia? Inoltre continuando con il punto $x_2$ ottengo $x_2=3.15$, che è più piccolo di $x_1$.

Sto facendo il ragionamento corretto? Dall'esempio della prof vedo che si limita a dire per $\beta$: "il punto $x_1 > \beta$ quindi ho la convergenza", ma non ho esattamente capito cosa intenda dato che $\beta$ è un intervallo.

Grazie a tutti!

[feddy]

Ciao, da quello che so io, il metodo di Newton ha ordine di convergenza pari a $2$ normalmente.
Converge più lentamente se ci sono zeri multipli, ma non è questo il caso. Facendo un rapido studio della funzione però si vede che non ha zeri multipli.

Provando a implementare l'algoritmo con MatLab in poche iterazioni il metodo mi risulta convergere, con ordine 2 per entrambi i due guess iniziali.

[ZombieBest]

Ciao! Grazie per la risposta! Come faccio quindi a capire su carta se converge? Quante iterazioni devo fare? Cosa devo vedere?

Grazie ancora!

[feddy]

Oddio, su carta è abbastanza noioso. Basta comunque applicare l'algoritmo come hai fatto te. Ossia, $x_(k+1)=x_k - f(x_k)/f'(x_k)$. A differenza tua, non capisco come possa risultarti quel $f(x_1)=1.18$. Probabilmente l'errore sta lì. A me risulta convergere (con $x0=0$, tolleranza=$1-e10$) in $4$ iterazioni.

[ZombieBest]

Grazie mille, ho trovato l'errore! Effettivamente ad ogni iterazione la f diventa sempre più piccola (è questo un requisito perchè converga?). Come fai a capire quando fermarti? Ad esempio a 4 iterazioni? Io vedo che diventa sempre più piccola, mi basta provare 2/3 iterazioni e vedere se continua a rimpicciolirsi per dire che converge?
Grazie ancora e scusa per le domande banali!

[ZombieBest]

Ad esempio per il calcolo di $\beta$ passo da $f(x_0)=0.28$, $f(x_1)=-0.3$, $f(x_2)=-0.03$, $f(x_3)=-0.00819$. Il fatto che si avvicini sempre di più allo zero mi basta per dire che converge?
Grazie!

[feddy]

Io vedo che diventa sempre più piccola, mi basta provare 2/3 iterazioni e vedere se continua a rimpicciolirsi per dire che converge?

A dire il vero no. Che diventi più piccola non vuol dire niente. Dipende da caso a caso.

Ci sono delle condizioni sull'arresto del metodo:

1.Innanzitutto devi fissare una tolleranza. Nel mio caso, l'ho messa a $1e-10$. Su carta è meglio metterne una che permetta di riuscire a non impazzire coi calcoli.

2. Ad ogni iterata devi calcolare l'errore commesso, o scarto, cioè $|xk - x_(k+1)|$. Finché questo valore è maggiore della tolleranza, continua con l'iterazione. Quanto diventa minore, puoi fermarti, perché hai ottenuto la precisione voluta.

E' questo che ti dice quando fermarti, non il fatto che rimpicciolisca.

[ZombieBest]

Nel mio caso, su carta, che tolleranza dovrei scegliere? Dato che nel testo del problema non è menzionato

[feddy]

Fai pure $1e-6$

[ZombieBest]

Fai pure $1e-6$

$1-e^-6$? oppure $1*e^-6$? oppure $e^1 -6$?